Grande icosidodecaedro retrocamuso

Grande icosidodecaedro retrocamuso
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20+60 triangoli 12 pentagrammi
Nº facce	92
Nº spigoli	150
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	(34.5/2)/2
Notazione di Wythoff	| 2 3/2 5/2
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Grande esacontaedro pentagrammico
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale

In geometria, il grande icosidodecaedro retrocamuso è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro retrocamuso, spesso indicato con il simbolo U₇₄ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

$\left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)$

con un numero pari di segni più, dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea, $\xi \approx 0,3264046$ è la più piccola radice positiva dell'equazione

$${\begin{aligned}\xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\varphi }}\quad \implies \quad \xi &={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2\varphi }}+{\sqrt {{\frac {1}{4\varphi ^{2}}}-{\frac {8}{27}}}}}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2\varphi }}-{\sqrt {{\frac {1}{4\varphi ^{2}}}-{\frac {8}{27}}}}}}}{2}}\\[4pt]\end{aligned}}$$

e

$${\begin{aligned}\alpha &=\xi -{\frac {1}{\xi }},\\[4pt]\beta &=-{\frac {\xi }{\varphi }}+{\frac {1}{\varphi ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \varphi }}.\end{aligned}}$$

Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a

$$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,580002\dots$$

dove $x$ è la radice dell'equazione

$x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}.$

Le quattro radici positive dell'equazione in $\mathbb {R} ^{2}$,

$$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$$

sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U₇₄), del grande icosidodecaedro camuso (U₅₇), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U₆₉) e del dodecaedro camuso (U₂₉).

Grande esacontaedro pentagrammico

Grande esacontaedro pentagrammico
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Pentagrammi irregolari
Nº facce	60
Nº spigoli	150
Nº vertici	92
Caratteristica di Eulero	2
Gruppo di simmetria	I, [5,3]+, 532
Duale	Grande icosidodecaedro retrocamuso

Il grande esacontaedro pentagrammico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro retrocamuso, avente per facce 60 pentagrammi irregolari.

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagrammico come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagramma irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero $\xi \approx 0,946\,730\,033\,56$ - maggior radice positiva del polinomio $P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}$ - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos(\xi )\approx 18,785\,633\,958\,24^{\circ }$ e uno angolo di ampiezza pari a $\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 104,857\,464\,167\,03^{\circ }$, con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a ${\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 1,774\,215\,864\,94$

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Grande icosidodecaedro retrocamuso, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Grande esacontaedro pentagrammico, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.