Funzione di Eulero (forma modulare)

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Modulo di φ nel piano complesso, colorato in modo che nero=0, rosso=4

In matematica, la funzione di Eulero, dal matematico svizzero Leonhard Euler, è definita come

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k),

per |q| < 1. È un esempio di q-serie, una forma modulare, e fornisce un tipico esempio di relazione tra la combinatoria e l'analisi complessa.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il coefficiente p(k) nell'espansione in serie formale di potenze di 1/\phi(q), coincide col numero di partizioni di k. In simboli,

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k,

dove p(k) è la funzione di partizione di k.

Inoltre, il teorema dei numeri pentagonali di Eulero si può riscrivere come

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2},

e, in particolare, si noti che (3n^2-n)/2 è un numero pentagonale.

La funzione di Eulero è collegata alla funzione eta di Dedekind attraverso un'identità di Ramanujan nel seguente modo:

\phi(q)= q^{-\frac{1}{24}} \eta(\tau),

dove q=e^{2\pi i\tau} ed entrambe le funzioni hanno la simmetria del gruppo modulare.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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