Funzione di Eulero (forma modulare)

Modulo di φ nel piano complesso, colorato in modo che nero=0, rosso=4

In matematica, la funzione di Eulero, dal matematico svizzero Leonhard Euler, è definita come

$\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),$

per |q| < 1. È un esempio di q-serie, una forma modulare, e fornisce un tipico esempio di relazione tra la combinatoria e l'analisi complessa.

Proprietà

Il coefficiente $p(k)$ nell'espansione in serie formale di potenze di $1/\phi (q)$, coincide col numero di partizioni di k. In simboli,

${\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k},$

dove $p(k)$ è la funzione di partizione di k.

Inoltre, il teorema dei numeri pentagonali di Eulero si può riscrivere come

$\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2},$

e, in particolare, si noti che $(3n^{2}-n)/2$ è un numero pentagonale.

La funzione di Eulero è collegata alla funzione eta di Dedekind attraverso un'identità di Ramanujan nel seguente modo:

$\phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),$

dove $q=e^{2\pi i\tau }$ ed entrambe le funzioni hanno la simmetria del gruppo modulare.

Bibliografia

• Apostol, Tom M.(1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3