Funzione Xi di Riemann

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca
Funzione di Riemann nel piano complesso. Il colore di un punto codifica il valore della funzione. I colori più scuri indicano valori più vicini a zero e la tonalità codifica l'argomento del valore.

In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.

La funzione (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.

La funzione fu definita, infatti, da Landau come[1]:

per , con che indica la funzione zeta di Riemann e la funzione Gamma.

L'equazione funzionale per la di Landau è

Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau[1] in funzione come che obbedisce all'equazione funzionale

Si noti che la funzione sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola [1]. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.

La forma generale per numeri interi pari positivi è

dove B n indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per si ha

Rappresentazioni in serie

[modifica | modifica wikitesto]

La funzione ha la seguente espansione in serie

dove

e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di

Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere

Prodotto di Hadamard

[modifica | modifica wikitesto]

Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:

dove ρ spazia sulle radici di ξ.

Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma e dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.

  1. ^ a b c Landau.
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica