Funzione Xi di Riemann
In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]La funzione (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.
La funzione fu definita, infatti, da Landau come[1]:
per , con che indica la funzione zeta di Riemann e la funzione Gamma.
L'equazione funzionale per la di Landau è
Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau[1] in funzione come che obbedisce all'equazione funzionale
Si noti che la funzione sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola [1]. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.
Valori
[modifica | modifica wikitesto]La forma generale per numeri interi pari positivi è
dove B n indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per si ha
Rappresentazioni in serie
[modifica | modifica wikitesto]La funzione ha la seguente espansione in serie
dove
- e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di
Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere
Prodotto di Hadamard
[modifica | modifica wikitesto]Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:
- dove ρ spazia sulle radici di ξ.
Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma e dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.
Note
[modifica | modifica wikitesto]Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (DE) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, III, New York, Chelsea, 1974 [1909].
- (EN) J. B. Keiper, Power series expansions of Riemann’s $\xi$ function, in Mathematics of Computation, LVIII, n. 198, 1º maggio 1992, pp. 765–765, DOI:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.