Distribuzione congiunta

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In probabilità, date due variabili aleatorie X e Y, definite sullo stesso spazio di probabilità, si definisce la loro distribuzione congiunta come la distribuzione di probabilità associata al vettore (X,Y). Nel caso di due sole variabili, si parla di distribuzione bivariata, mentre nel caso di più variabili si parla di distribuzione multivariata.

Funzione di ripartizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di ripartizione di una distribuzione congiunta è definita come

F(x,y)=P(X \le x, Y \le y) .

o più generalmente

F(x_1,...,x_n)=P(X_1 \le x_1,..., X_n \le x_n) .

Caso discreto[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di variabili aleatorie discrete, la densità discreta congiunta è data da

\mathrm{P}(X=x,Y=y) = \mathrm{P}(Y=y \mid X=x) \cdot \mathrm{P}(X=x) = \mathrm{P}(X=x \mid Y=y) \cdot \mathrm{P}(Y=y)

Siccome la densità congiunta è anch'essa una densità, è soddisfatto

\sum_x \sum_y \mathrm{P}(X=x\ \mathrm{e}\ Y=y) = 1.\;

Caso continuo[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità congiunta è data da

f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X}(y|x)f_X(x) = f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)\;

dove fY|X(y|x) e fX|Y(x|y) sono le distribuzioni condizionate di Y dato X=x e di X dato Y=y, mentre fX(x) e fY(y) sono le distribuzioni marginali della densità congiunta, rispettivamente per X e Y. Anche in questo caso, è soddisfatto

\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y) \; dy \; dx= 1.