Algebra di Heyting

Un'algebra di Heyting (dal matematico olandese Arend Heyting) è la struttura di verità (un'algebra, appunto) della logica intuizionista.

Un'algebra di Heyting soddisfa queste proprietà: chiusura rispetto all'unione (più in generale, rispetto ad un operatore binario $\vee$) e rispetto all'intersezione (operatore binario $\wedge$). A differenza dell'algebra di Boole (che rappresenta il modo di ragionare in logica classica), non è necessariamente chiusa rispetto al complemento (negazione): per cui, ogni algebra di Boole è di Heyting. Interpretando delle proposizioni (diciamole A e B) in elementi dell'algebra a e b, l'interpretazione di "$A \wedge B$" va in $a \wedge_H b$, mentre "$A \vee B$" va in $a \vee_H b$. L'interpretazione di $A\to B$ è, come si evince dalla definizione stessa, $\bigvee \{z : z \wedge a \le b\}$.

Un'algebra di Heyting è completa se è chiusa rispetto al $\vee$ numerabile, ovvero rispetto all'implicazione.

Esempi di algebre di Heyting complete sono le topologie; una qualsiasi algebra di Heyting può essere immersa in una topologia costruita ad hoc.

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