Algebra di Heyting

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Un'algebra di Heyting (dal matematico olandese Arend Heyting) è la struttura di verità (un'algebra, appunto) della logica intuizionista.

Un'algebra di Heyting soddisfa queste proprietà: chiusura rispetto all'unione (più in generale, rispetto ad un operatore binario \vee) e rispetto all'intersezione (operatore binario \wedge). A differenza dell'algebra di Boole (che rappresenta il modo di ragionare in logica classica), non è necessariamente chiusa rispetto al complemento (negazione): per cui, ogni algebra di Boole è di Heyting. Interpretando delle proposizioni (diciamole A e B) in elementi dell'algebra a e b, l'interpretazione di "A \wedge B" va in a \wedge_H b, mentre "A \vee B" va in a \vee_H b. L'interpretazione di A\to B è, come si evince dalla definizione stessa, \bigvee \{z : z \wedge a \le b\}.

Un'algebra di Heyting è completa se è chiusa rispetto al \vee numerabile, ovvero rispetto all'implicazione.

Esempi di algebre di Heyting complete sono le topologie; una qualsiasi algebra di Heyting può essere immersa in una topologia costruita ad hoc.

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