Zero-insieme

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In matematica, uno zero-insieme di una funzione è l'insieme formato dai punti in cui la funzione assume valore nullo. Più precisamente, data una funzione , dove è un gruppo additivo, lo zero insieme di è la controimmagine dell'elemento neutro:

I punti dello zero insieme corrispondono alle radici dell'equazione ; l'insieme complementare di uno zero insieme è detto cozero-insieme, e corrisponde ai punti in cui la funzione assume valore non nullo. Gli zero insiemi sono utilizzati in molti settori della geometria e della topologia; a seconda dell'ambito di applicazione, vengono considerati in relazione a diversi tipi di funzione.

Solitamente l'insieme zero di una trasformazione lineare è detto nucleo.

Topologia[modifica | modifica wikitesto]

In topologia vengono considerati gli zero insiemi delle funzioni continue, che possiedono alcune importanti caratteristiche: in particolare, gli zero insiemi sono sempre insiemi chiusi, mentre in generale non vale il viceversa; tramite gli zero insiemi è possibile caratterizzare i seguenti assiomi di separazione:

  • uno spazio topologico è completamente regolare se e solo se ogni suo insieme chiuso è l'intersezione di una famiglia di zero insiemi ovvero se e solo se i cozero insiemi formano una base di ;
  • uno spazio topologico è completamente normale se e solo se ogni insieme chiuso è uno zero insieme, ovvero se e solo se ogni insieme aperto è un cozero insieme.

Geometria differenziale[modifica | modifica wikitesto]

In geometria differenziale si considerano gli zero insiemi di funzioni lisce ; se zero non è un punto critico della funzione, allora lo zero insieme di definisce una varietà di dimensione .

Geometria algebrica[modifica | modifica wikitesto]

In geometria algebrica, lo zero insieme di una famiglia di polinomi è una varietà affine, mentre la proiettivizzazione degli zero insiemi di una famiglia di polinomi omogenei è una varietà proiettiva.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 268, 1999.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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