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Moto rettilineo uniformemente accelerato

Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto rettilineo (ha come traiettoria una retta, quindi per descriverlo è sufficiente utilizzare un sistema di riferimento avente un solo asse, la cui retta è la direzione dei vettori posizione, spostamento, velocità e accelerazione) in cui il corpo (descritto usando il modello del punto materiale) si muove con accelerazione costante.

Si verifica quando la somma delle Forze che agiscono sul corpo non è nulla. Ciò comporta una variazione nella velocità del corpo, descritta dal 2° Principio della Dinamica, che afferma che la Forza totale è equivalente al prodotto della massa e dell’accelerazione :

$F=ma$,

da cui si ricava che:

$a={F \over m}$

Inoltre, nel moto uniformemente accelerato, l’accelerazione equivale all’accelerazione media.

Perciò, si calcola con la formula $a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$, dove Δt è l’intervallo di tempo(t-t₀), mentre Δv è la variazione di velocità avvenuta nel dato intervallo(v-v₀).

Inoltre, se l’accelerazione ha valore negativo, si parla di “Moto rettilineo uniformemente decelerato”.

Leggi orarie del moto rettilineo uniformemente accelerato

Esistono due tipi di leggi orarie, cioè quella della velocità e quella della posizione. Entrambe le equazioni, per definizione, esprimono le due grandezze in funzione del tempo.

Legge oraria della velocità

La legge oraria della velocità si ricava dalla formula dell’accelerazione media, che equivale all’accelerazione del moto uniformemente accelerato.

Perciò, la formula: $a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$,

diventa: $a\Delta t={\frac {{\Delta v}\Delta t}{\Delta t}}$

            $\Delta v=a\Delta t$                     

Ma Δv può essere scritto come v- v_0, quindi la formula diventa:

             $v-v_{o}=a\Delta t$                    

             $v=v_{o}+a\Delta t$                    

Questa è la legge generale della velocità la quale, dunque, contempla il caso in cui il corpo possegga già una determinata velocità (v₀) prima di muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato.

Nel caso in cui, invece, il corpo parta “da fermo”, allora v₀=0 m/s.

L’equazione:

          $v=v_{o}+a\Delta t$                       

diventa:

           $v=a\Delta t$                      

In entrambi i casi, ci troviamo di fronte ad un’equazione di 1° grado nell’incognita Δt . Perciò, nel piano cartesiano, il grafico velocità-tempo sarà una retta.

Nel primo caso, essa avrà intercetta equivalente a v₀, quindi la retta avrà origine nel punto di coordinate (0;v₀).

Grafico velocità-tempo

Nel secondo caso, essa avrà intercetta equivalente a v₀=0 m/s, quindi la retta avrà origine nel punto di coordinate (0;0), cioè l’origine degli assi.

Legge oraria della posizione

La legge oraria della posizione si ricava da una proprietà dei grafici velocità-tempo dei moti rettilinei. Tale proprietà afferma che:

“In un moto rettilineo, la distanza Δs percorsa in un intervallo di tempo Δt equivale all’area della figura sottesa al grafico velocità-tempo nell’intervallo di tempo considerato.”

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Grafico_velocoita_tempo.png

La figura sottesa al grafico velocità-tempo è un trapezio, che ha base maggiore(b₁) equivalente a v(velocità generica, calcolata con la legge $v=v_{o}+a\Delta t$ ), base minore(b₂) equivalente a v₀, e altezza equivalente a Δt.

L’area di un trapezio equivale a:

$A={\frac {(b1+b2)h}{2}}$

la stessa formula può essere scritta come:

$\Delta s={\frac {(v_{o}+a\Delta t+v_{o})\Delta t}{2}}$                                  

$\Delta s={\frac {(2v_{o}+a\Delta t)\Delta t}{2}}$

$\Delta s={\frac {2v_{o}\Delta t+a\Delta t^{2}}{2}}$                                   

$\Delta s={\frac {2v_{o}\Delta t}{2}}+{\frac {1}{2}}{a\Delta t^{2}}$                                   

$\Delta s=v_{o}\Delta t+{\frac {1}{2}}{a\Delta t^{2}}$                                   

Ma $\Delta s=s-s_{0}$, quindi l’equazione diventa:

$s={\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}+v_{o}\Delta t+s_{0}$

Questa è la legge generale della posizione la quale, dunque, contempla sia il caso in cui il corpo possegga già una determinata velocità (v₀) prima di muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato, che il caso in cui $s_{0}\neq 0m$ (Il corpo non parte dall'origine sistema di riferimento).

Nel caso in cui il corpo possegga già una determinata velocità (v₀) prima di muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato, ma $s_{0}=0m$  perché il corpo è partito dall’origine del sistema di riferimento, allora $\Delta s=s$ , e la legge oraria diventa:

$s={\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}+v_{o}\Delta t$                                  

Nel caso in cui, invece, il corpo parta “da fermo”(v₀=0 m/s) e $s_{0}=0m$ perché il corpo è partito dall’origine del sistema di riferimento, la legge oraria diventa:

$s={\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$                                  

In tutti i casi, ci troviamo di fronte ad un’equazione di 2° grado nell’incognita . Perciò, nel piano cartesiano, il grafico spazio-tempo sarà una parabola, con origine sull’asse delle posizioni.

Grafico Spazio tempo

Moto di caduta libera

Il moto di caduta libera è un moto in cui l’accelerazione è solo quella di gravità, orientata verticalmente verso il basso e dal modulo costante di $g=9,8m/s^{2}$ .

Essa si verifica quando su un corpo agisce solo la Forza Peso,(dunque o nel vuoto o se le altre Forze sono trascurabili).

Leggi orarie

Essendo il moto di caduta libera un particolare tipo di moto uniformemente accelerato, le leggi orarie sono le stesse, ma ponendo a=g e sostituendo di conseguenza.

Storia

Il primo a sostenere che i corpi, in assenza di aria potessero essere soggetti ad un'accelerazione costante fu Galileo Galilei nel trattato Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, pubblicato nel 1638 da lui stesso.

Lancio verticale verso l'alto

Il lancio verticale verso l'alto è una variante del moto di caduta libera. Quando un corpo è compie questo moto, parte con velocità iniziale di v₀.In una prima parte del moto, il corpo sale fino a raggiungere una posizione, l'altezza massima s_max, nell'istante di tempo t_max. Quì, la velocità assume valore zero. Infine, l'ultima fase del moto avviene verso il basso e il corpo ritorna al punto di partenza, in un tempo equivalente a t_max.

Tale moto si descrive con un sistema di riferimento avente un'asse orientato verticalmente verso l'alto e origine nel punto da cui avviene il lancio. Inoltre, sul corpo non agiscono altre Forze oltre alla Forza Peso; dunque, a=-g (g essendo orientata verso il basso risulta negativa)

Le equazioni che descrivono il lancio verticale verso l'alto sono:

$v=v_{o}-g\Delta t$

$s=v_{o}\Delta t-{\frac {1}{2}}g\Delta t^{2}+$

Le equazioni per calcolare l’altezza massima e l'istante di tempo corrispondente sono:

$tmax={\frac {v_{0}}{g}}$

$smax={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}$

Grafico spazio-tempo del lancio verticale verso l'alto.

Voci correlate

• Fisica
• Meccanica
• Dinamica
• Cinematica
• Tempo
• Posizione
• Spostamento
• Velocità
• Accelerazione
• Accelerazione di gravità
• Sistema di Riferimento Cartesiano
• Galileo Galilei

Bibliografia

Ugo Amaldi, Gianni Melegari, Elena Joli, ed Elena Cerboneschi; Dalla mela di newton al bosone di Higgs PLUS 1+2: ISBN 978-88-08-73764-9