Utente:Andreagia93

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Data odierna: 3 novembre 2024

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Natura

Equazioni

Di seguito, una lista delle equazioni che descrivono il mondo in cui viviamo:

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ (Secondo principio della dinamica)

$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho$ ( Equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi ,t\rangle ={\hat {H}}|\psi ,t\rangle$ (Equazione di Schrödinger)

${\Bigl (}\Box -\mu ^{2}{\Bigr )}\phi (x)=0$ (Equazione di Klein-Gordon)

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-\mu )\psi (x)=0$ (Equazione di Dirac)

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }$ (Equazioni di Maxwell non-omogenee)

${\Bigl (}\Box -\mu ^{2}{\Bigr )}A^{\mu }(x)=-\mu _{0}j^{\mu }$ (Equazione di Proca)

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ (Equazioni di campo di Einstein)

Lagrangiane

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\,\partial _{\mu }{\Biggl (}{\sqrt {-g}}\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}{\Biggl )}=0$ (Equazioni di Eulero-Lagrange in Relatività Generale)

${\mathcal {L}}_{Newton}=-{\frac {1}{8\pi G}}({\vec {\nabla }}\phi )^{2}-\rho \phi$ (Lagrangiana per l'equazione di Poisson per il potenziale gravitazionale)

${\mathcal {L}}_{Schr{\ddot {o}}dinger}=\psi ^{\dagger }{\Bigl (}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-V{\Bigr )}\psi$ (Lagrangiana per l'equazione di Schrödinger)

${\mathcal {L}}_{Klein-Gordon}=-{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi )(\partial _{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}$ (Lagrangiana di Klein-Gordon)

${\mathcal {L}}_{Dirac}=\hbar c{\bar {\psi }}{\Bigl (}i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-\mu {\Bigr )}\psi$ (Lagrangiana di Dirac)

${\mathcal {L}}_{em}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+j^{\mu }A_{\mu }$ (Lagrangiana dell'elettrodinamica quantistica)

${\mathcal {L}}_{Proca}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\mu ^{2}A^{\mu }A_{\mu }+j^{\mu }A_{\mu }$ (Lagrangiana di Proca)

${\mathcal {L}}_{g}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{m}$ (Lagrangiana gravitazionale)

Convenzioni usate

Ho usato le seguenti convenzioni:

• $(S_{1},S_{2},S_{3})=(+1,+1,+1)$ (Cfr. la sezione "Sign convention" della versione inglese della pagina Equazioni di campo di Einstein)
• Sistema internazionale di unità di misura
• $\mu :={\frac {mc}{\hbar }}$ (Inverso della lunghezza d'onda Compton)