Teorema di Cantor-Bernstein-Schröder

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In matematica, il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder (a cui spesso si fa riferimento semplicemente come teorema di Cantor-Bernstein), afferma che:

Dati due insiemi A, B se esistono due funzioni iniettive
,
,
allora esiste una funzione biiettiva
.

Presupposti e conseguenze del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Questo teorema è nato, ed ha una grande importanza, nell'ambito della teoria degli insiemi e in particolare nello studio delle cardinalità.

Infatti la definizione classica di ("la cardinalità di è minore o uguale della cardinalità di "), dove sono due insiemi qualunque, è:

Esiste una funzione iniettiva da in .

Mentre la definizione di (" e sono equipotenti") è:

Esiste una funzione biiettiva da in .

Ciò detto, il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder può essere riformulato come segue:

Se e , allora

Questo è proprio uno dei requisiti fondamentali che deve avere per essere una relazione d'ordine parziale. Il teorema è quindi fondamentale per poter ordinare gli insiemi in base alla loro cardinalità. È da notare che per stabilire che una tale relazione d'ordine è totale è necessario supporre l'assioma della scelta.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Innanzitutto osserviamo che è l'unica funzione che sappiamo definire su ; allo stesso modo, l'unica funzione che abbiamo su è , che corrisponde a sull'immagine . La funzione viene costruita proprio in questo modo, dividendo l'insieme in sottoinsiemi , , , eccetera, sui quali dev'essere pari a o in modo alterno.

Alcune aree delimitate dalle iterazioni di f e g. Si riconoscono e .

Per una definizione più precisa e semplice, si considerano i concetti di precedente e di primo tra i precedenti (introducendo un particolare ordinamento parziale):

  • un punto di ha un precedente in se
  • un punto di ha un precedente in se

Per l'iniettività delle due funzioni, se esiste, ogni precedente è unico; si può quindi cercare di risalire la catena dei precedenti (x,y,z,...) per trovarne il primo. È ora possibile suddividere come

  • è l'insieme dei punti di che hanno un primo precedente in ;
  • è l'insieme dei punti di che hanno un primo precedente in ;
  • è l'insieme dei punti di che non hanno un primo precedente, cioè per i quali la catena dei precedenti non termina.

Questa suddivisione permette di definire una bigezione tra e

(Si può indifferentemente scegliere di definire pari a su .)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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