In teoria degli insiemi, il Teorema di Hartogs, dimostrato dal matematico tedesco Friedrich Hartogs, afferma che l'assioma della scelta è equivalente alla condizione che, dati due insiemi qualsiasi 
e 
si abbia sempre
oppure 
Questo significa che, assumendo l'assioma della scelta, tutti gli insiemi hanno cardinalità comparabile, anche se infiniti.
Dimostriamo che l'assioma della scelta implica che tutte le cardinalità sono comparabili. Siano e 
due insiemi e sia 
un insieme parzialmente ordinato tale che:
- gli elementi di
sono terne 
ove 
e 
è un'iniezione da 
a 
- la relazione d’ordine
è la seguente: 
se e solo se 
e 
ristretta a è uguale a .
Tale insieme non è vuoto in quanto l'insieme vuoto 
ed esiste un'iniezione 
tra 
e 
dunque 
Sia 
una catena di tale che 
Siano
e sia 
la funzione da 
a 
tale che se 
allora 
Tale funzione è ben definita e iniettiva, 
e 
quindi 
La terna 
è un maggiorante di , infatti 
e 
per ogni indice 
e ristretto a 
è uguale a 
per definizione di . Allora sono verificate le ipotesi del lemma di Zorn (che è equivalente all'assioma della scelta) ed esiste dunque un elemento massimale 
Dimostriamo allora che 
oppure 
Supponiamo per assurdo che ciò sia falso, ossia che 
e 
Si ha quindi che esistono 
e 
Consideriamo allora 
, ove 
se 
altrimenti 
. La funzione 
è iniettiva e dunque 
Inoltre 
, 
e ristretta a 
è uguale a 
per costruzione. Di conseguenza
ma questo è assurdo poiché 
è massimale. Ne consegue che oppure 
è quindi vi è un'iniezione da in un sottoinsieme di o da in un sottoinsieme di e quindi 
oppure 
- (DE) Friedrich Hartogs, Über das Problem der Wohlordnung, in Mathematische Annalen, vol. 76, 1915, pp. 438–443.
- (EN) David Feldman, Mehmet Orhon, Andreas Blass, Generalizing Hartogs’ Trichotomy Theorem (PDF), su arxiv.org, 2008. arΧiv:0804.0673
