Discussione:Teorema di Cantor-Bernstein-Schröder

Non convince troppo nemmeno la dimostrazione semplificata: sugli $x\in A\setminus g(B)$ la funzione $h$ non è definita - no, ok, torna. La catena dei precedenti per il elementi $x\in A\setminus g(B)$ ha lunghezza uno, per cui $A\setminus g(B)\subset A_{A}$, è solo leggermente fuorviante il fatto che la dimostrazione sembri suggerire che la catena dei precedenti è sempre costituita da almeno un altro elemento, oltre quello di partenza, cosa che è chiaramente falsa.

Perché $k(\cdot ):A\to g(B)$ dovrebbe essere biettiva? Lo è, banalmente, solo nel caso in cui $A_{2}=\emptyset$, da cui però segue che $f(\cdot )$ stessa è una biezione. Infatti, scelto $a_{2}\in A_{2},(g\circ f)(a_{2})\in A_{3}$, tuttavia $(g\circ f)(a_{2})\not \in (g\circ f)(A_{1}\cup A_{3})$. Ergo, $k(\cdot )$ non è suriettiva e la dimostrazione è errata.

Ho sostituito la dimostrazione

Precedente dimostrazione sbagliata

Innanzitutto osserviamo che la tesi (l'esistenza di $h:A\rightarrow B$ biunivoca) equivale alla seguente affermazione:

Esiste una funzione bigettiva $k:A\rightarrow g(B)\subset A$.

Infatti se una tale $k$ esiste, allora composta con la funzione $g^{-1}$ (una funzione iniettiva è sempre bigettiva tra il suo dominio e la sua immagine) dà una bigezione tra $A$ e $B$; viceversa, se esiste la bigezione $h:A\rightarrow B$ allora $g\circ h$ è la $k$ cercata.

Le aree delimitate da f e g.

A questo punto suddividiamo $A$ in 3 parti:

• $A_{1}=A\setminus g(B)$
• $A_{2}=g(B\setminus f(A))$
• $A_{3}=A\setminus (A_{1}\cup A_{2})$

Si verifica quindi che la seguente funzione è effettivamente una bigezione tra $A$ e $g(B)$:

$k(x)={\begin{cases}x&{\text{se }}x\in A_{2}\\g(f(x))&{\text{se }}x\in A_{1}\cup A_{3}\end{cases}}$

Infine dunque la bigezione cercata è

$h(x)={\begin{cases}g^{-1}(x)&{\text{se }}x\in A_{2}\\g^{-1}(g(f(x)))=f(x)&{\text{se }}x\in A_{1}\cup A_{3}\end{cases}}$

{{C|(Attenzione: La dimostrazione è errata, in quanto <math>k(\cdot)</math> non è suriettiva)|matematica|novembre 2009}}

--93.38.32.138 (msg) 11:02, 26 gen 2010 (CET)