Tensore elettromagnetico

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In fisica, in particolare in elettromagnetismo, il tensore elettromagnetico, anche detto tensore del campo elettromagnetico, tensore dello sforzo del campo, tensore di Faraday o bivettore di Maxwell, è un tensore che descrive il campo elettromagnetico.

Il tensore di campo fu usato per la prima volta da Hermann Minkowski, e consente di scrivere le leggi fisiche in maniera molto concisa e generale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il tensore elettromagnetico è definito come:[1]

dove è il potenziale quadrivettoriale:

in cui è il potenziale magnetico, un potenziale vettore, e è il potenziale elettrico, un potenziale scalare. La forma del tensore esprime il fatto che il campo elettrico ed il campo magnetico sono definiti a partire dal quadripotenziale nel seguente modo:[2]

Ad esempio, le componenti sono:

che si possono riscrivere come:

Il tensore elettromagnetico può quindi essere definito anche come la derivata esterna della forma 1-differenziale :

Dal momento che il tensore elettromagnetico è una forma 2-differenziale sullo spaziotempo, in un sistema di riferimento inerziale la matrice che lo rappresenta è:[3]

oppure:

Dalla forma matriciale del tensore di campo si evince che il tensore elettromagnetico è un tensore antisimmetrico:

la cui traccia è nulla, e possiede sei componenti indipendenti. Il prodotto interno dei tensori del campo è inoltre un invariante di Lorentz:

mentre il prodotto del tensore con il suo tensore duale dà un'invariante pseudoscalare:

dove è il tensore unitario completamente antisimmetrico del quart'ordine o tensore di Levi-Civita. Si noti che:

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton e Azione (fisica).

Si consideri una particella con carica elettrica e massa posta in una regione in cui è presente un campo elettromagnetico. Sia la velocità della particella e la quantità di moto, con il potenziale vettore. La sua energia potenziale e la sua energia cinetica hanno la forma:

dove è il potenziale elettrico. La lagrangiana permette di descriverne il moto, ed è definita come:[4]

ovvero:

In notazione relativistica, sfruttando l'intervallo spaziotemporale (scalare) , dove è la posizione, l'azione è definita come l'integrale della lagrangiana nel tempo tra gli istanti iniziale e finale dell'evoluzione del sistema:[5]

con il quadripotenziale. Il principio di minima azione stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso (), ovvero:[6]

Se si integra per parti si ottiene:

con la quadrivelocità. Dato che il secondo termine è nullo e che:

si ha:

dove nel secondo passaggio si è sfruttato il fatto che e . Ponendo:

si ha:

che è l'equazione del moto per una particella carica in un campo elettromagnetico.[7]

In elettrodinamica quantistica la lagrangiana estende quella classica, ed in forma relativistica è data da:

incorporando la creazione e l'annichilazione di fotoni (e elettroni).

Equazioni di Maxwell in forma tensoriale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Maxwell.

L'elettromagnetismo classico e le equazioni di Maxwell possono essere derivati da un principio di azione stazionaria partendo dall'azione:

dove è ambientata nello spaziotempo. Questo significa che la densità di lagrangiana è:

Il primo e il quarto termine sono uguali, perché e sono indici muti. Anche i restanti sono uguali, e quindi la lagrangiana è:

Usando l'equazione di Eulero-Lagrange per un campo si ha:

dove il secondo termine è zero in quanto la lagrangiana non contiene esplicitamente i campi, ma solo le loro derivate. Quindi l'equazione di Eulero-Lagrange assume la forma:

in cui il termine tra le parentesi è il tensore di campo , e quindi:

Questa equazione è un altro modo per scrivere le due equazioni di Maxwell non omogenee in assenza di sorgenti nel vuoto, usando le sostituzioni:

dove and prendono i valori 1, 2, e 3. In presenza di sorgenti le equazioni di Maxwell non omogenee sono:

e si riducono a:[8]

dove:

è la quadricorrente. Le equazioni omogenee:

si riducono invece a:

Trasformazioni del campo elettromagnetico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione di Lorentz.

Nel momento in cui si passa dalla descrizione del campo in termini delle coordinare rispetto ad un sistema inerziale alla medesima descrizione rispetto ad un altro sistema inerziale , il tensore elettromagnetico si trasforma secondo la legge:

Detta la matrice di trasformazione della relativa trasformazione di Lorentz, si ha in modo equivalente:

dove l'asterisco denota la matrice trasposta.

Le espressioni spaziali dei campi ottenute per una traslazione di rispetto a lungo l'asse delle ascisse con velocità sono:

Per una trasformazione di Lorentz generica, si ha:[9]

Tali espressioni mostrano come il campo magnetico ed il campo elettrico siano due manifestazioni dello stesso campo, il campo elettromagnetico. A seconda del sistema di riferimento lo stesso campo si osserva in modo diverso, ed è possibile trovare due sistemi tali per cui in uno di essi il campo è puramente magnetico o puramente elettrico, mentre nell'altro si osservano entrambi. Non esistono tuttavia due sistemi in cui il campo elettromagnetico sia contemporaneamente elettrostatico e magnetostatico rispettivamente.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 556
  2. ^ Jackson, Pag. 555
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 90
  4. ^ Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, Mc Graw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0.
  5. ^ Landau, Lifshits, Pag. 69
  6. ^ Landau, Lifshits, Pag. 88
  7. ^ Landau, Lifshits, Pag. 89
  8. ^ Jackson, Pag. 557
  9. ^ Jackson, Pag. 558

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]