Tabella di Cayley

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Una tabella di Cayley, detta anche tavola di composizione, è una tabella a doppia entrata che descrive la struttura di un gruppo finito. Deve il nome al matematico britannico Arthur Cayley.

La tabella mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi del gruppo, in modo simile ad una tavola pitagorica. Permette di trovare velocemente l'inverso di un dato elemento e di dedurre proprietà del gruppo quali l'abelianità o il centro.

Dato un gruppo con operazione binaria , la tabella di Cayley mostra, per ogni coppia di elementi , il risultato dell'operazione . L'intersezione della riga e della colonna contiene quindi il risultato del prodotto .

Un semplice esempio è la tabella di Cayley per il gruppo con moltiplicazione ordinaria.

× 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

Struttura[modifica | modifica wikitesto]

Siccome una tabella di Cayley può essere usata per descrivere gruppi che non sono abeliani, il prodotto potrebbe essere diverso da per una qualche scelta di e appartenenti a . Per evitare ambiguità, è in uso la convenzione che l'elemento corrispondente alla riga è a sinistra dell'operazione di moltiplicazione, e quello che corrisponde alla colonna è a destra: quindi l'intersezione della riga di e della colonna di contiene e non , come nel seguente esempio:

a b c
a a2 ab ac
b ba b2 bc
c ca cb c2

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Siccome la moltiplicazione in un gruppo abeliano è commutativa, una tabella di Cayley è simmetrica rispetto alla diagonale se e solo se il gruppo che rappresenta è abeliano. Il gruppo con moltiplicazione ordinaria, mostrato sopra, è un esempio di gruppo con tabella simmetrica.


A causa della proprietà di cancellazione degli elementi di un gruppo, una qualsiasi colonna o riga non può contenere un dato elemento più di una volta. Ne consegue che le righe e le colonne sono permutazioni degli elementi del gruppo.

La tabella di Cayley di un gruppo è quindi un esempio di quadrato latino.

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica