Proprietà di cancellazione
In algebra, sono dette proprietà di cancellazione o di semplificazione le seguenti: sia un gruppo; allora presi tre elementi valgono le implicazioni
- (cancellazione a sinistra)
- (cancellazione a destra)
Le due proprietà sono equivalenti se è un gruppo abeliano.
Per dimostrare tale proprietà è sufficiente tenere presente la proprietà associativa, il fatto che in un gruppo ogni elemento ha elemento inverso e che esiste l'elemento neutro. Ad esempio, per provare la legge di cancellazione a sinistra è sufficiente osservare che se allora
dove abbiamo indicato con l'elemento neutro di . La legge di cancellazione a destra si prova in modo del tutto analogo.
È importante osservare che le proprietà di cancellazione possono valere anche in insiemi che non sono gruppi, e quindi la validità delle proprietà di cancellazione in un insieme non è in generale condizione sufficiente per stabilire che è gruppo.
Un magma in cui vale la proprietà di cancellazione a sinistra (rispettivamente a destra) si dice cancellativo a sinistra (rispettivamente a destra). Un quasigruppo è sempre cancellativo.
Esempi[modifica | modifica wikitesto]
- I numeri naturali formano un monoide cancellativo rispetto all'addizione.
- L'insieme delle matrici quadrate con il prodotto non soddisfa tale proprietà: se e , allora la cancellazione vale solo se è invertibile. Se invece , allora l'equazione matriciale non ha un'unica soluzione.
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Proprietà di cancellazione, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.