Proiezione (geometria): differenze tra le versioni
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[[Immagine:Orthogonal projection.svg|thumb|right|La trasformazione ''P'' è una proiezione ortogonale sulla retta ''m''.]] |
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=== Nel piano cartesiano o nello spazio === |
=== Nel piano cartesiano o nello spazio === |
Versione delle 17:21, 10 mag 2018
In algebra lineare e analisi funzionale, una proiezione è una trasformazione lineare definita da uno spazio vettoriale in sé stesso (endomorfismo) che è idempotente, cioè tale per cui : applicare due volte la trasformazione fornisce lo stesso risultato che applicandola una volta sola (dunque l'immagine rimane inalterata).
Nonostante la definizione sia piuttosto astratta, si tratta di un concetto matematico simile (e in qualche modo legato) alla proiezione cartografica.
Proiezioni ortogonale
Nel piano cartesiano o nello spazio
In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione che sposta ogni punto dello spazio su un punto di lungo una direzione perpendicolare ad .
Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione:
e la proiezione sulle ordinate è la funzione
In uno spazio vettoriale
Se è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo -dimensionale , la proiezione ortogonale su è definita ponendo:
una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi vettori sono una base per . Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro coordinate rispetto alla base , la proiezione su è la funzione:
In modo equivalente, se e sono vettori di e il prodotto scalare standard, si definisce proiezione di lungo il vettore , dove il numero:
è detto coefficiente di Fourier. I vettori e sono allora perpendicolari.[1]
Operatore e matrice di proiezione
Un endomorfismo di uno spazio vettoriale è un operatore di proiezione se è idempotente, cioè se . Gli endomorfismi definiti sopra quindi sono tutti proiezioni.
Analogamente, una matrice quadrata è una matrice di proiezione se (dove si fa uso del prodotto fra matrici). Ad esempio:
è una matrice di proiezione.
Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice rappresenta un endomorfismo di . In particolare, la appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale :
Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano su una retta:
La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse, simile alla descritta sopra in figura:
Proprietà
Se sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:
- per ogni numero naturale .
- Gli autovalori possibili di sono +1 e 0.
- Se e "si annullano a vicenda", cioè , allora la loro somma è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.
- Il nucleo e l'immagine di una proiezione sono in somma diretta.
Note
Bibliografia
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- (EN) N. Dunford e J. T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.
- (EN) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000, ISBN 978-0-89871-454-8.
Voci correlate
- Idempotenza
- Metodo di Monge
- Prospettività
- Proiezione cilindrica equidistante
- Proiezione di Mercatore
Altri progetti
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su proiezione
Collegamenti esterni
- Template:Thesaurus BNCF
- (EN) M.I. Voitsekhovskii, Projector, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) A.B. Ivanov, Projection, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) MIT Linear Algebra Lecture on Projection Matrices at Google Video, from MIT OpenCourseWare
- (EN) Planar Geometric Projections Tutorial - a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.
- (EN) Thomas Craig (1882) A Treatise on Projections from University of Michigan Historical Math Collection.