Matrice dei cofattori: differenze tra le versioni

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Versione delle 10:57, 1 ott 2015

In matematica, in particolare in algebra lineare, la matrice dei cofattori di una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ , detta anche matrice dei complementi algebrici, è un'altra matrice quadrata di ordine $n$ il cui elemento nella posizione generica $i,j$ è il cofattore (o complemento algebrico) di $A$ relativo alla posizione $i,j$ , così definito:

\mathrm {cof} _{i,j}(A):=(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{i,j})

qui il termine $\det(A_{i,j})$ rappresenta il minore di $A$ ottenuta cancellando la riga $i$ -esima e la colonna $j$ -esima.

Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:

\mathrm {cof} \,A={\begin{pmatrix}\mathrm {cof} _{1,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{1,n}(A)\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {cof} _{n,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{n,n}(A)\\\end{pmatrix}}

Matrice aggiunta

La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore $\mathrm {adj}$ , dall'inglese adjoint matrix.

Quindi:

\mathrm {adj} \,A=(\mathrm {cof} \,A)^{T}

Proprietà

La matrice aggiunta soddisfa le proprietà seguenti:

$\mathrm {adj} (I)=I$ , dove $I$ è la matrice identità
$\mathrm {adj} (A\cdot B)=\mathrm {adj} (B)\cdot \mathrm {adj} (A)$
$A\cdot \mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I$

conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se $A$ è invertibile, l'inversa è data da:

A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot \mathrm {adj} (A)

$\det(\mathrm {adj} (A))\,=\,\det(A)^{n-1}$

Bibliografia

(EN) Gilbert Strang, Section 4.4: Applications of determinants, in Linear Algebra and its Applications, 3rd, Harcourt Brace Jovanovich, 1988, pp. 231–232, ISBN 0-15-551005-3.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Self-Adjoint, in MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Matrix Reference Manual
(EN) Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
(EN) adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }, su Wolfram Alpha.

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@@ Riga 28: / Riga 28: @@
 :<math>A^{-1} = \det(A)^{-1}\cdot\mathrm{adj}(A) </math>
 * <math>\det(\mathrm{adj}(A)) \,=\, \det(A)^{n - 1}</math>
-== Esempi  ==
-{{C|Esempi sbagliati|algebra|settembre 2015}}
-=== Matrice 2 × 2 ===
-L'aggiunta della matrice:
-:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{pmatrix}</math>
-è:
-:<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}</math>.
-e si nota che <math>\det (\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(A)</math> e <math>\operatorname{adj}( \operatorname{adj}(A)) = A</math>.
-=== Matrice 3 × 3 ===
-Data la matrice <math>3\times 3</math>:
-:<math>
-\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
-a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
-a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
-a_{31} & a_{32} & a_{33}
-\end{pmatrix}
-= \begin{pmatrix}
-& 2 & 3 \\
-& 5 & 6 \\
-& 8 & 9
-\end{pmatrix}</math>
-La sua aggiunta è la trasposta della matrice dei cofattori:
-:<math>
-\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}
-+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| &
--\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}  \end{matrix} \right| &
-+\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| \\
- & & \\
--\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
--\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}  \end{matrix} \right| \\
- & & \\
-+\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
--\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
-+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|
-\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
--\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9  \end{matrix} \right| &
-+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\
- & & \\
--\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
--\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6  \end{matrix} \right| \\
- & & \\
-+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
--\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
-+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
-\end{pmatrix}
-</math>
-dove:
-:<math>\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|=
-\det\left( \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right)</math>.
-Quindi la matrice aggiunta di <math>A</math> è:
-:<math>
-\operatorname{adj}(\mathbf{A}) =  \begin{pmatrix}
--3 & 6 & -3 \\
-& -12 & 6 \\
--3 & 6 & -3
-\end{pmatrix}</math>
-===Esempio numerico===
-Esempio di calcolo di matrice aggiunta:
-:<math>\operatorname {adj}\begin{pmatrix} 2& 1&1\\ 0&-1&2\\ 0&2&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3&3&3\\ 0&-2&-4\\ 0&-4&-2 \end{pmatrix}</math>
 == Bibliografia ==

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