Tensore metrico: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], e più precisamente in [[geometria differenziale]], un '''tensore metrico''' è un [[campo tensoriale]] che caratterizza la geometria di una [[varietà (geometria)|varietà]]. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di [[distanza (matematica)|distanza]], angolo, lunghezza di una curva, [[geodetica]], [[curvatura]]. |
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Poiché il determinante non si annulla mai, la [[segnatura (algebra lineare)|segnatura]] della matrice <math>g_{ij}(x)</math> è la stessa per ogni <math> x </math> se la varietà è [[spazio connesso|connessa]]. |
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Se la segnatura è di tipo <math>(n,0)</math>, cioè se il prodotto scalare è ovunque [[prodotto scalare definito positivo|definito positivo]], il tensore induce una [[spazio metrico|metrica]] sulla varietà, che è quindi chiamata [[varietà riemanniana]]. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]]. |
Se la segnatura è di tipo <math>(n,0)</math>, cioè se il prodotto scalare è ovunque [[prodotto scalare definito positivo|definito positivo]], il tensore induce una [[spazio metrico|metrica]] sulla varietà, che è quindi chiamata [[varietà riemanniana]]. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta [[varietà pseudo-riemanniana|pseudo-riemanniana]]. |
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Le varietà riemanniane sono le più studiate in [[geometria differenziale]]. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno [[spazio euclideo]], benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo [[spaziotempo]] nella [[relatività generale]] è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura <math>(1,3)</math>. Una tale varietà è localmente simile allo [[spaziotempo di Minkowski]]. |
Le varietà riemanniane sono le più studiate in [[geometria differenziale]]. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno [[spazio euclideo]], benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo [[spaziotempo]] nella [[relatività generale]] è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura <math>(1,3)</math>. Una tale varietà è localmente simile allo [[spaziotempo di Minkowski]]. |
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=== Alzamento e abbassamento di indici === |
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Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli [[spazio tangente|spazi tangente]] e [[spazio cotangente|cotangente]] di una varietà. |
Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli [[spazio tangente|spazi tangente]] e [[spazio cotangente|cotangente]] di una varietà. |
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Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto [[contrazione di un tensore|contraendo]] opportunamente con i tensori <math> g_{ij} </math> e <math> g^{ij}</math>. Ad esempio, un vettore <math> A^\mu </math> viene trasformato in un covettore |
Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto [[contrazione di un tensore|contraendo]] opportunamente con i tensori <math> g_{ij} </math> e <math> g^{ij}</math>. Ad esempio, un vettore <math> A^\mu </math> viene trasformato in un covettore |
Versione delle 13:20, 12 ott 2013
In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.
Definizioni
Prodotto scalare non degenere in ogni punto
Un 'tensore metrico è un campo tensoriale definito su una varietà differenziabile, di tipo , simmetrico e non degenere in ogni punto.
Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.
Coordinate
Un tensore è indicato in coordinate come . Per ogni punto della varietà, fissato una carta locale, il tensore in è rappresentato quindi da una matrice simmetrica con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di all'interno della carta.
Segnatura
Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice è la stessa per ogni se la varietà è connessa.
Se la segnatura è di tipo , cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.
Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura . Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.
Esempi
Metrica euclidea
Lo spazio euclideo è dotato della metrica euclidea, che può essere descritta da un tensore metrico . Lo spazio tangente di ogni punto è identificato naturalmente con . Rispetto a questa identificazione, il tensore è la matrice identità per ogni punto dello spazio.
Varietà immersa
Sia una varietà differenziabile in . Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su : si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di al sottospazio dei vettori tangenti a . Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in ha una struttura di varietà riemanniana.
Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera, scritto in coordinate sferiche , è dato da
e può essere riassunto nella forma
Spaziotempo di Minkowski
Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio dotato del tensore
che può essere riassunto nella forma
La costante è la velocità della luce. Il tensore si ricava come unica soluzione di coordinate che soddisfa l'invarianza della distanza fra due punti per tutti i sistemi di riferimento, vale a dire il sistema a due equazioni ponendo: .
Il tensore di Minkowsky corrisponde a un piano senza ostacoli né curvature. Le sue geodetiche sono linee rette, ma il cambiod i segno temporale introduce la peculiarità che non corrispondono più alla distanza più breve fra due punti, ma alla più lunga.
Indici di un tensore
Tensore metrico coniugato
Al tensore metrico è associato un analogo tensore di tipo , denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto . Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:
scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore è la delta di Kronecker definita da
Alzamento e abbassamento di indici
Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.
Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori e . Ad esempio, un vettore viene trasformato in un covettore
Alternativamente,