Supporto (matematica)

In matematica, il supporto (o sostegno) è un insieme associato ad un particolare oggetto. La definizione dipende dall'oggetto in questione.

Curve

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia $\mathbf {r} \!$ la parametrizzazione di una curva:

$\mathbf {r} :I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\!$

allora il suo supporto $\Gamma \!$ è l'insieme:

$\Gamma =\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,t.c.\,\exists t\in I,\,\mathbf {x} =\mathbf {r} (t)\}\!$

oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato:

$\Gamma =\mathbf {r} (I)\!$

Ricordiamo che per descrivere la curva non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo supporto), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva $\gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,2\pi ]$ e la curva $\gamma _{2}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,3\pi ]$ hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no.

Funzioni

Il supporto di una funzione è la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Sia $X$ uno spazio topologico, e $Y$ uno spazio vettoriale:

$f:\Omega \subseteq X\to Y\!$

allora

$\mathrm {supp} \,f:={\overline {\{\mathbf {x} \in \Omega \,t.c.\,f(\mathbf {x} )\neq \mathbf {0} \}}}\!$

La definizione di supporto non dipende in realtà dalle proprietà lineari dell'insieme immagine, ma solo dal fatto che in $Y$ ci sia un elemento distinto chiamato zero. La definizione data è valida anche se si richiede che $Y$ sia solamente un monoide.

Teoria della misura

Il supporto di una misura $\mu \!$ su uno spazio misurabile $(X,{\mathcal {A}})\!$ è la chiusura del sottoinsieme di $X\!$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia $(X,{\mathcal {A}},\mu )\!$ uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

$\mathrm {supp} \,\mu :={\overline {\{x\in X\,:\forall N\ni x,\,\mu (N)>0\}}}\!$

Voci correlate

• Funzione a supporto compatto