3-sfera: differenze tra le versioni
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[[Image:Hypersphere_coord.PNG|right|frame|[[Proiezione stereografica]] degli elementi della 3-sfera: paralleli (in rosso), meridiani (in blu) e [[ipermeridiano|ipermeridiani]] (in verde). Tutte le curve sono cerchi (alcuni di raggio infinito, quindi rette), e in proiezione appaiono intersecarsi sempre ad angolo retto.]] |
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La '''3-sfera''' è una [[figura (geometria)|figura geometrica]] nello [[spazio euclideo]] 4-[[dimensione|dimensionale]], in particolare è l'analogo in questo spazio della [[sfera]]. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. |
La '''3-sfera''' è una [[figura (geometria)|figura geometrica]] nello [[spazio euclideo]] 4-[[dimensione|dimensionale]], in particolare è l'analogo in questo spazio della [[sfera]]. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato. |
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Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie ([[varietà (matematica)|varietà]]) bidimensionale che fa da bordo alla [[palla (matematica)|palla]] tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale. |
Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie ([[varietà (matematica)|varietà]]) bidimensionale che fa da bordo alla [[palla (matematica)|palla]] tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale. |
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==Definizione== |
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In termini di [[coordinata|coordinate]], una 3-sfera centrata in '''''C''''' (''C''<sub>0</sub>, ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>) ed avente raggio ''r'' è l'insieme dei punti '''''x''''' (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) nello [[Spazio_euclideo#Spazio_Rn|spazio '''R'''<sup>4</sup>]] tali che |
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:<math>\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.</math> |
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Si chiama '''3-sfera unitaria''' o ''S''<sup>3</sup> quella con centro nell'origine e raggio unitario: |
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:<math>S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}.</math> |
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Se si considera '''R'''<sup>4</sup> come lo spazio a due coordinate [[numero complesso|complesse]] ('''C'''<sup>2</sup>), o [[quaternione]] ('''H'''), la 3-sfera unitaria è data dalla relazione |
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:<math>S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}</math> |
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oppure da |
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:<math>S^3 = \left\{q\in\mathbb{H} : |q| = 1\right\}.</math> |
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L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità. |
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==Proprietà== |
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===Proprietà elementari=== |
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Il volume 3-dimensionale (o ''iperarea'') della 3-sfera di raggio ''r'' è pari a |
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:<math>2\pi^2 r^3 \,</math> |
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mentre l'''ipervolume'' (il volume della regione 4-dimensionale racchiusa dalla 3-sfera) vale |
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:<math>\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 r^4.</math> |
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Ogni intersezione non vuota di una 3-sfera con un [[iperpiano]] tridimensionale è una 2-sfera, ossia una sfera convenzionale, oppure un singolo punto (nel caso di tangenza). |
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===Proprietà [[topologia|topologiche]]=== |
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Una 3-sfera è una [[varietà (matematica)|varietà]] 3-dimensionale [[spazio compatto|compatta]], [[spazio connesso|connessa]] e senza bordo. Inoltre è un insieme [[semplicemente connesso]]: ogni curva chiusa sulla sua superficie può essere ristretta ad un singolo punto senza lasciare la 3.sfera. Secondo la [[congettura di Poincaré]], dimostrata nel 2003 da [[Grigori Perelman]], la 3-sfera (a meno di [[omeomorfismo]]) è l'unica figura con queste proprietà. |
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==Voci correlate== |
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Versione delle 13:43, 31 gen 2010
La 3-sfera è una figura geometrica nello spazio euclideo 4-dimensionale, in particolare è l'analogo in questo spazio della sfera. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato.
La 3-sfera è chiamata spesso ipersfera, anche se con lo stesso termine si indicano tutte le n-sfere con n≥3.
Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie (varietà) bidimensionale che fa da bordo alla palla tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale.
Definizione
In termini di coordinate, una 3-sfera centrata in C (C0, C1, C2, C3) ed avente raggio r è l'insieme dei punti x (x0, x1, x2, x3) nello spazio R4 tali che
Si chiama 3-sfera unitaria o S3 quella con centro nell'origine e raggio unitario:
Se si considera R4 come lo spazio a due coordinate complesse (C2), o quaternione (H), la 3-sfera unitaria è data dalla relazione
oppure da
L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità.
Proprietà
Proprietà elementari
Il volume 3-dimensionale (o iperarea) della 3-sfera di raggio r è pari a
mentre l'ipervolume (il volume della regione 4-dimensionale racchiusa dalla 3-sfera) vale
Ogni intersezione non vuota di una 3-sfera con un iperpiano tridimensionale è una 2-sfera, ossia una sfera convenzionale, oppure un singolo punto (nel caso di tangenza).
Proprietà topologiche
Una 3-sfera è una varietà 3-dimensionale compatta, connessa e senza bordo. Inoltre è un insieme semplicemente connesso: ogni curva chiusa sulla sua superficie può essere ristretta ad un singolo punto senza lasciare la 3.sfera. Secondo la congettura di Poincaré, dimostrata nel 2003 da Grigori Perelman, la 3-sfera (a meno di omeomorfismo) è l'unica figura con queste proprietà.
