Paradosso di Borel

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In teoria delle probabilità il paradosso di Borel afferma che sia sempre possibile comporre una qualsiasi opera letteraria (ad esempio la Divina Commedia) digitando casualmente le lettere di una tastiera. Da qui deriva anche il nome di paradosso della scimmia in quanto si immagina che una scimmia possa scrivere un testo di senso compiuto digitando casualmente le lettere di una tastiera.

Il paradosso di Borel può essere modellato da una successione di variabili aleatorie che assumono, con una certa probabilità prefissata, i valori zero o uno. Se ipotizziamo che le lettere dell'alfabeto siano rappresentate tramite il sistema binario (ossia sequenze di zero e uno) è possibile scrivere ugualmente una qualsiasi opera letteraria. Il paradosso di Borel afferma che, data una sequenza di bit prefissata, la probabilità che si realizzi è quasi certamente pari a uno.

L'apparente paradosso viene chiarito calcolando il tempo medio di uscita di una stringa, che oltre ad essere estremamente lungo, cresce in base alla sequenza di caratteri ripetuti all'interno della stringa stessa.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di probabilità tale che , è una -algebra di e una misura di probabilità sullo spazio . Si può definire una successione di variabili aleatorie stocasticamente indipendenti ed identicamente distribuite tali che , con . Fissato un vettore di caratteri si definisce l'evento che , ossia al tempo la stringa sia stata composta. Si dimostra che .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni si può definire una partizione di eventi indipendenti tali che

Allo stesso modo si può definire una successione di variabili aleatorie indipendenti tali che

è stocasticamente indipendente in quanto lo è anchee

Sia una successione di variabili aleatorie tali che , dove è la funzione indicatrice di . Dato che i appartengono ad una partizione di eventi indipendenti e gli possono essere visti come , ne segue che è una successione di variabili aleatorie indipendenti.

Osservazione 1[modifica | modifica wikitesto]

Considerando che l'unione degli eventi è sottoinsieme dell'unione degli eventi , se si prova che , allora anche

Osservazione 2[modifica | modifica wikitesto]

Considerando che e la probabilità di una funzione indicatrice corrisponde alla probabilità dell'evento stesso, si può dire che . Analogamente equivale a calcolare la probabilità dell'evento complementare, ossia .

Osservazione 3[modifica | modifica wikitesto]

In base all'osservazione 2 si può dire che

Dato che tutti i appartengono ad una partizione, per il criterio di indipendenza stocastica si può dire che

Applicando l'enunciato si ha che

Analogamente

Osservazione 4[modifica | modifica wikitesto]

Per l'indipendenza della successione si ha che

Per l'osservazione 3 si ha che

Passando al limite si ha che , per

Infatti, per fissato, può essere visto come una costante non dipendente da . Pertanto per

Osservazione 5[modifica | modifica wikitesto]

Per le osservazioni 2 e 3 si ha che

Portando fuori l'operatore complementare si ha che

Conclusione[modifica | modifica wikitesto]

Per le osservazioni 4 e 5 si ha che

Per l'osservazione 1 si può concludere e dimostrare la tesi, ossia