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Operatore nabla

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In matematica, ed in particolare nel calcolo vettoriale e nell'analisi matematica, il nabla indicato col simbolo è un operatore differenziale vettoriale. Il simbolo è chiamato, molto raramente e solo nel mondo anglosassone, anche atled (delta letto al contrario) a causa della sua forma a delta () rovesciato. Il nome più comunemente utilizzato nella letteratura anglosassone è però "del".

Il nabla è una convenzione matematica che consente di scrivere, con una notazione compatta, gli operatori differenziali jacobiana, gradiente, divergenza e rotore.

Qualora lo spazio vettoriale nel quale il nabla agisce sia uni-dimensionale, la definizione del nabla coincide con l'ordinaria derivata.

Il termine deriva dal nome di uno strumento musicale a corda della tradizione ebraica europea, il nebel, simile ad un'arpa, ovvero simile ad una viola o ad un violino ma avente una cassa acustica di profilo triangolare, che richiama appunto quella di un delta rovesciato.[1][2]

Il simbolo è stato utilizzato per la prima volta dal matematico e fisico William Rowan Hamilton nella forma di un delta sdraiato . In greco il simbolo è chiamato ανάδελτα, anádelta, ovvero delta rovesciato. Nel linguaggio anglosassone il simbolo nabla, quando è un operatore matematico, è chiamato del.

Il simbolo è disponibile nel codice HTML come e nel codice LaTeX come \nabla. Nella codifica Unicode è rappresentato nella cella U+2207 o, in notazione decimale, 8711.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In uno spazio tridimensionale generato da un sistema di coordinate cartesiane con versori indicati , e , il nabla è definito come:

La generalizzazione per uno spazio con funzioni di variabili a valori, viene scritta:

Usi del nabla[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore nabla consente di scrivere con una notazione compatta ed intuitiva gli operatori differenziali del gradiente, la divergenza, il rotore, la derivata direzionale, il laplaciano:

dove è una funzione reale di una o più variabili reali, mentre è un campo, cioè una funzione vettoriale di una o più variabili reali. Il simbolo rappresenta il prodotto scalare, mentre il prodotto vettoriale.

Questo consente di semplificare la scrittura anche di complicate equazioni differenziali.

Definizione intrinseca[modifica | modifica wikitesto]

La definizione data sopra è in realtà una definizione informale che dipende dal sistema di coordinate prescelto. Si può tuttavia definire il nabla con una definizione intrinseca più generale, indipendente dal sistema di coordinate:

in cui rappresenta un prodotto arbitrario (scalare, vettoriale, tensoriale o per uno scalare), mentre è un campo scalare, vettoriale o tensoriale. è la superficie frontiera del volume che nel limite si riduce a un punto. In questo modo si possono definire in maniera intrinseca il gradiente, la divergenza, il rotore e gli altri operatori differenziali.

Coordinate sferiche[modifica | modifica wikitesto]

Le equazioni che trasformano le coordinate polari in coordinate cartesiane sono:

Sfruttando la regola di derivazione a catena si può scrivere:

la stessa cosa, usando la notazione con matrici e vettori, si scrive:

o anche in forma più compatta:

avendo definito:

Si noti che:

con

Con quanto suddetto l'operatore gradiente in coordinate polari si esprime:

Si ha:

da cui si ricava l'espressione del laplaciano in coordinate polari:

Si trovano facilmente anche gli operatori (il legendriano) e , che sono strettamente legati a e nella teoria dei momenti angolari della meccanica quantistica, infatti:

e calcolando:

si ottiene:

L'operatore rappresenta la parte angolare di e si può scrivere un'altra espressione importante per il laplaciano:

Note[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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