Equazione di stato dei gas perfetti

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L'equazione di stato dei gas perfetti, nota anche come legge dei gas perfetti, descrive le condizioni fisiche di un "gas perfetto" o di un gas "ideale", correlandone le funzioni di stato: quantità di sostanza, pressione, volume e temperatura. Venne formulata nel 1834 da Émile Clapeyron.

Formulazione[modifica | modifica sorgente]

La sua espressione più comune è:[1]

 pV = nRT \! \;

in cui

  • p è il valore della pressione del gas;
  • V è il volume occupato dal gas;
  • n sono le moli del gas;
  • R è la costante universale dei gas, il cui valore varia in funzione delle unità di misura adottate per esprimere le altre grandezze nell'equazione;
  • T è la temperatura assoluta del gas, espressa in kelvin.[2]

Il valore di R nel Sistema internazionale è:

R = 8{,}314472 \ \mathrm{J \over { mol \cdot K } }

a volte nei calcoli, specialmente in chimica, si utilizza il valore di:

R = 0{,}0821 \ \mathrm{ { L \cdot atm } \over { mol \cdot K } } \, .

Questa equazione rappresenta una generalizzazione delle leggi empiriche osservate da Boyle (in un gas, in condizioni di temperatura costante, il volume è inversamente proporzionale alla pressione), Avogadro (il volume di un gas è proporzionale alle moli n del gas) e Charles (in un gas a pressione costante, il volume è proporzionale alla temperatura assoluta), ottenibili rispettivamente per T costante, V costante e p costante.

L'equazione di stato dei gas perfetti descrive bene il comportamento dei gas reali per pressioni non troppo elevate e per temperature non troppo vicine alla temperatura di liquefazione del gas. In questi casi, una migliore descrizione del comportamento del gas è dato dall'equazione di stato di van der Waals.

Formulazione alternativa (microscopica)[modifica | modifica sorgente]

Spesso in meccanica statistica si preferisce utilizzare la k che è una forma alternativa per la legge che contenga il numero di molecole di gas piuttosto che le moli.

Definita la costante di Boltzmann

k = { R \over N_a }

dove N_a è il numero di Avogadro; e osservato che N = N_a n è il numero di molecole del gas si ricava:

 pV = nRT = { N \over N_a } RT = N { R \over N_a } T = NkT
 pV = k\ NT

Ulteriore formulazione[modifica | modifica sorgente]

Siccome la quantità di una sostanza può essere data in termini di massa anziché di moli, spesso è usata questa ulteriore formulazione. Il numero di moli n è pari alla massa m divisa per la massa molare M:

 n = {\frac{m}{M}}

Sostituendo  n \, , otteniamo:

\ pV = \frac{m}{M}RT

da cui

\ p = \frac{\rho}{M}RT

Quest'ultima formulazione della legge dei gas ideali è molto utile perché collega pressione, densità ρ = m/V e temperatura in un'unica formula indipendente dalla quantità del gas considerato.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

L'equazione di stato dei gas perfetti è dimostrabile a partire dalle leggi empiriche di Boyle, Charles e Gay-Lussac.

Si consideri una mole di gas di volume v_0 ad uno stato iniziale caratterizzato da:

 \begin{align}
p_0 &= 1 \ \mathrm{atm} \\
t_0 &= 0 \ \mathrm{^\circ C} \, . \\
\end{align}

Si consideri una trasformazione isobara (a pressione costante) applicata a questo volume di gas: il volume alla fine della trasformazione sarà, secondo la legge di Charles:

 v' = v_0(1 + \alpha t) \,

e la temperatura sarà t (in gradi centigradi).

Se poi si fa andare il volume così ottenuto incontro ad una trasformazione isoterma otterremo, secondo la legge di Boyle-Mariotte:

 p_0v' = pv \,\!

Quindi:[3]

 \begin{align}
pv &= p_0v' \\
pv &= p_0v_0 \, (1 + \alpha t) \\
pv &= p_0 \, {v_0 \over 273{,}15}T \, . \\ 
\end{align}

Dove p_0{v_0 \over 273{,}15} ha carattere di universalità ed è la costante R. Adottando questa notazione abbiamo che:

 pv = RT \,\!

Moltiplicando ambo i membri per n (moli):

 pnv = nRT \,\!

Dove nv è il volume di n moli, indicato con V. Utilizzando questa notazione otteniamo infine:

 pV = nRT \,\!

Corollario[modifica | modifica sorgente]

L'equazione di stato dei gas perfetti viene anche ridotta nella maniera seguente: \frac{pV}{T}=Nk, cioè il prodotto di pressione, volume e dell'inverso della temperatura assoluta è costante nelle varie trasformazioni fisiche a cui il gas perfetto venga sottoposto.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Silvestroni, op. cit., p. 165
  2. ^ Le unità di misura specificate sono adottate nell'ambito del Sistema internazionale. Qualora si utilizzi un'altra unità di misura per la temperatura (o per le altre grandezze presenti nell'espressione) è necessario considerare un opportuno valore della costante R.
  3. ^ Nel terzo passaggio viene effettuato un cambio di unità di misura da gradi centigradi (t) a kelvin (T) attraverso la seguente relazione: T = t + 273,15.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10ª ed., CEA, 1996. ISBN 8840809988.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

  • Animazione interattiva in Java - In questa pagina è disponibile un'animazione interattiva che permette di simulare il comportamento di un gas al variare della pressione (cursore indicato con P), della temperatura (cursore T) e del numero di molecole (cursore N).