Distribuzione di Skellam

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Distribuzione di Skellam
Funzione di distribuzione discreta
Distribuzione di probabilità
Nell'immagine i parametri sono stati indicati con la lettera anziché con la lettera
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Mediana
Moda
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione di Skellam è una distribuzione di probabilità che governa la differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe una distribuzione di Poisson. Prende il nome da John Gordon Skellam.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Skellam di parametri è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria

definita da due variabili aleatorie indipendenti e che seguono rispettivamente le distribuzioni di Poisson di parametri e .

La distribuzione di probabilità di è

,

dove è la funzione di Bessel di primo tipo modificata

Questa distribuzione si ricava dalle distribuzioni , esprimendo

;

mostrando che si ottiene la formula per la distribuzione di .

Nel caso particolare in cui entrambe le variabili e seguano la stessa distribuzione di probabilità , la distribuzione diventa simmetrica e la distribuzione è[2]

.

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

La variabile aleatoria con distribuzionedi Skellam di parametri ha

Prendendo

e ,

dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano i primi momenti semplici

, , ,

e i primi momenti centrali

, , ;

in particolare si trovano la varianza

e gli indici di asimmetria e curtosi

,
.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Poisson può essere considerata un caso particolare della distribuzione di Skellam, con parametri ; in altri termini, considerando la distribuzione degenere () un caso particolare di distribuzione di Poisson con parametro 0, la variabile aleatoria è differenza di due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzioni di Poisson.

La somma e la differenza di due o più variabili aleatorie indipendenti che seguono distribuzioni di Skellam (o di Poisson) seguono entrambe una distribuzione di Skellam. Questa proprietà segue dalla definizione di distribuzione di Skellam e dall'analoga proprietà per la somma di due o più variabili aleatorie indipendenti con distribuzione di Poisson. Più precisamente, se e seguono rispettivamante le distribuzioni di Skellam di parametri e , allora

segue la distribuzione di Skellam di parametri ,
segue la distribuzione di Skellam di parametri ,
segue la distribuzione di Skellam di parametri ,


Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) J. G. Skellam, The Frequency Distribution of the Difference Between Two Poisson Variates Belonging to Different Populations (abstract), in Journal of the Royal Statistical Society, vol. 109, nº 3, 1946, pp. 296.
  2. ^ (EN) J. O. Irwin, The Frequency Distribution of the Difference between Two Independent Variates following the same Poisson Distribution (abstract), in Journal of the Royal Statistical Society, vol. 100, nº 3, 1937, pp. 415-416.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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