Disequazione fratta

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In algebra, una disequazione fratta è una disequazione algebrica dove l'incognita compare nel divisore di qualche frazione. Una disequazione di questo tipo, tramite opportuni passaggi algebrici, può ricondursi alla forma seguente:

${\frac {A(x)}{B(x)}}>0$ oppure ${\frac {A(x)}{B(x)}}<0$

Dove A(x) e B(x) sono due polinomi nella variabile x.

Risoluzione di disequazioni fratte per via algebrica

La disequazione ${\frac {A(x)}{B(x)}}>0$

sarà soddisfatta da tutti i valori della x per cui i due polinomi hanno lo stesso segno (sono concordi), per cui l'insieme delle soluzioni sarà dato dall'unione delle soluzioni dei seguenti due sistemi di disequazioni:

$\left\{{\begin{matrix}A(x)>0\\B(x)>0\end{matrix}}\right.\vee \left\{{\begin{matrix}A(x)<0\\B(x)<0\end{matrix}}\right.$

Viceversa, la seconda disequazione ${\frac {A(x)}{B(x)}}<0$

è soddisfatta da tutti i valori della x per cui i due polinomi hanno segno opposto (sono discordi), pertanto l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:

$\left\{{\begin{matrix}A(x)>0\\B(x)<0\end{matrix}}\right.\vee \left\{{\begin{matrix}A(x)<0\\B(x)>0\end{matrix}}\right.$

Se la disuguaglianza non è stretta (ossia, se si presenta con il simbolo ≤ o ≥), allora anche i valori che annullano $A(x)\;$ sono soluzioni.

Esempio

${\frac {3}{x-1}}-{\frac {1}{x}}\leq {\frac {5}{x^{2}-x}}$

Portando tutto al primo membro e svolgendo le somme, si ottiene:

${\frac {2(x-2)}{x^{2}-x}}\leq 0$

Dobbiamo perciò risolvere i due sistemi:

$\left\{{\begin{matrix}x-2\geq 0\\x^{2}-x<0\end{matrix}}\right.\vee \left\{{\begin{matrix}x-2\leq 0\\x^{2}-x>0\end{matrix}}\right.$

Il primo sistema non ammette soluzioni; il secondo è risolto da $x<0\vee 1<x\leq 2$, che costituisce dunque la soluzione della disequazione iniziale.

Risoluzione di disequazioni fratte per via grafica

Il seguente metodo vale esclusivamente se la disequazione fratta è in forma normale: una frazione algebrica a primo membro confrontata con lo zero al secondo membro. Sappiamo che il segno di una frazione dipende dal segno del Numeratore e del Denominatore secondo la regola dei segni.

La procedura prevede:

1. mettere in forma normale la disequazione fratta: frazione algebrica a primo membro confrontata con lo zero al secondo membro
2. studio del segno del numeratore (sempre per $\geq 0$ o per $>0$ in relazione alla presenza dell'uguale nella disequazione)
3. studio del segno del denominatore (sempre per $>0$)
4. Individuare le condizioni di accettabilità delle soluzioni o, in modo equivalente, determinare il dominio della disequazione (condizioni di esistenza della frazione).
5. tracciare uno schema grafico che indica il variare del segno del numeratore e del denominatore comporre il segno della frazione secondo la regola dei segni,
6. ricordare che, in corrispondenza di ciascun valore dell'incognita per il quale si annulla il numeratore, si annulla anche la frazione algebrica,
7. ricordare che, in corrispondenza di ciascun valore dell'incognita per il quale si annulla il denominatore, la frazione algebrica non esiste,
8. evidenziare graficamente gli zeri del numeratore e del denominatore con simboli opportuni (ad esempio O)
9. evidenziare graficamente le condizioni di esistenza della Frazione con simboli opportuni (ad esempio $\not \exists$)
10. guardare il verso della disequazione in forma normale, sullo schema del segno della frazione individuare le soluzioni della disequazione, cioè gli intervalli dell'asse reale che soddisfano la disequazione data.

Esempio 1

${\frac {3x+2}{x}}\leq 1$ La disequazione non è in forma normale

${\frac {3x+2}{x}}-1\leq 0\Rightarrow {\frac {3x+2-x}{x}}\leq 0\Rightarrow {\frac {2x+2}{x}}\leq 0$

È possibile raccogliere il 2 a numeratore e semplificare applicando il 2° principio di equivalenza delle disequazioni

${\frac {x+1}{x}}\leq 0$ forma normale della disequazione fratta

Studio del segno di N: $x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1$
Studio del segno di D: $x>0$
Condizione di esistenza: $x\neq 0$

Schema del segno

Schema del segno

Soluzioni

Si vuole che la frazione sia negativa o nulla, quindi dallo schema grafica del segno della frazione si individuano i seguenti intervalli di soluzione: $-1\leq x<0$.
Osservare che l'estremo x=-1 va incluso perché per tale valore la frazione vale zero, l'estremo x=0 è escluso perché per tale valore la frazione non esiste.

Esempio 2

${\frac {x^{3}-x}{x^{2}-4}}>0$ la disequazione è già in forma normale

Studio del segno di N: $x^{3}-x\geq 0$ è una disequazione intera di terzo grado
EA: $x^{3}-x=0\Rightarrow x=0,x=\pm 1$ tutte con molteplicità 1

Studio del segno di D: $x^{2}-4>0$ è una disequazione intera di 2º grado
EA: $x^{2}-4=0\Rightarrow x=\pm 2$ è positiva per $x<-2\vee x>+2$

Condizioni di esistenza: $x\neq \pm 2$

Schema del segno

Schema del segno

Soluzioni La frazione deve essere >0. Dunque le soluzioni sono $-2<x<-1\vee 0<x<1\vee x>2$.
Gli estremi x=-2 e x=2 sono esclusi per le condizioni di esistenza. Gli estremi x=0, x=1, x=-1 sono esclusi perché la frazione deve essere strettamente positiva.

Casi particolari

Di norma il denominatore non può mai essere eliminato perché la presenza dell'incognita impedisce di sapere se esso è negativo o positivo e dunque non si può applicare il 2° principio di equivalenza delle disequazioni. In certe situazioni però il denominatore è sempre positivo o sempre negativo e dunque è possibile semplificare la frazione.

Esempio 3

${\frac {2x}{x^{2}+1}}\geq 1$

La disequazione non è in forma normale però si osserva che il denominatore è sempre positivo in quanto somma di quadrati di cui il secondo termine sempre positivo. Grazie a questo fatto è possibile applicare il secondo principio di equivalenze delle disequazioni.

$(x^{2}+1){\frac {2x}{x^{2}+1}}\geq 1(x^{2}+1)$

$2x\geq x^{2}+1\Rightarrow x^{2}-2x+1\leq 0\Rightarrow (x-1)^{2}\leq 0$

Un quadrato è sempre positivo o nullo mai negativo, dunque le soluzioni sono per x=1.

Voci correlate

• Disequazione
• Disequazioni di 2° grado
• Disequazione intera
• Sistema di disequazioni
• Equazione fratta
• Minimo comune multiplo