Disequazione fratta

In algebra, una disequazione fratta è una disequazione algebrica dove l'incognita compare nel divisore di qualche frazione. Una disequazione di questo tipo, tramite opportuni passaggi algebrici, può ricondursi alla forma seguente:

$\frac{A(x)}{B(x)} > 0$ oppure $\frac{A(x)}{B(x)} < 0$

Dove A(x) e B(x) sono due polinomi nella variabile x. La prima disequazione sarà soddisfatta da tutti i valori della x per cui i due polinomi hanno lo stesso segno, per cui l'insieme delle soluzioni sarà dato dall'unione delle soluzioni dei seguenti due sistemi di disequazioni:

$\left\{\begin{matrix}A(x)>0\\B(x)>0\end{matrix}\right. \mbox{ e } \left\{\begin{matrix}A(x)<0\\B(x)<0\end{matrix}\right.$

Viceversa, la seconda disequazione è soddisfatta da tutti i valori della x per cui i due polinomi sono discordi, pertanto l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:

$\left\{\begin{matrix}A(x)>0\\B(x)<0\end{matrix}\right. \mbox{ e } \left\{\begin{matrix}A(x)<0\\B(x)>0\end{matrix}\right.$

Se la disuguaglianza non è stretta (ossia, se si presenta con il simbolo ≤ o ≥), allora anche i valori che annullano $A(x)\;$ sono soluzioni.

Ad esempio:

$\frac{3}{x-1} - \frac{1}{x} \leq \frac{5}{x^2 - x}$

Portando tutto al primo membro e svolgendo le somme, si ottiene:

$\frac{2(x - 2)}{x^2 - x} \leq 0$

Dobbiamo perciò risolvere i due sistemi:

$\left\{\begin{matrix} x-2 \geq 0 \\ x^2 - x < 0 \end{matrix}\right. \mbox{ e } \left\{\begin{matrix} x - 2 \leq 0 \\ x^2 - x > 0\end{matrix}\right.$

Il primo sistema non ammette soluzioni; il secondo è risolto da $x < 0\;$ e $1 < x \leq 2\;$, che costituisce dunque la soluzione della disequazione iniziale.

Risoluzione di disequazioni fratte con la regola dei segni

Introduciamo innanzitutto la regola dei segni:
Se a, b, c, d, ... sono numeri reali, non nulli, si ha che:
§ (a×b×...)>0 e a×b×.../c×d×...>0
se il numero dei fattori negativi è pari. § (a×b×...)<0 e a×b×.../c×d×...<0
se il numero dei fattori negativi è dispari.

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Il seguente è il procedimento da seguire:
A) Se il secondo membro della disequazione non è zero, si applica il primo principio di equivalenza e si trasportano tutti i termini al primo membro, in modo che al secondo membro compaia solo lo zero e la disequazione risulti scritta in forma canonica.
B) Si eseguono, se è il caso, calcoli e scomposizioni in fattori in modo che al primo membro compaiano solo fattori di primo grado o fattori di segno costante.
C) Se la disequazione è frazionaria si pongono le condizioni di accettabilità delle soluzioni o, in modo equivalente, si determina il dominio della disequazione.
D) Si studia il segno di ciascun fattore del primo membro.
E) Si traccia uno schema grafico che indica il variare del segno dei singoli fattori al variare dell'incognita; applicando la regola dei segni, si determina il segno che assume l'espressione al primo membro della disequazione.
In questo passaggio occorre tener presente che
§ in corrispondenza di ciascun valore dell'incognita per il quale si annulla un fattore al numeratore, si annulla anche l'intera espressione (purché per tale valore non si annulli anche l'eventuale denominatore);
§ in corrispondenza di ciascun valore per il quale si annulla un fattore del denominatore, l'espressione al primo membro perde significato e quindi anche la disequazione perde significato (tale valore non appartiene al dominio della disequazione).
F) Tenendo conto dei risultati ottenuti, e delle eventuali condizioni di accettabilità, si è così in grado di determinare l'insieme delle soluzioni della disequazione data.

Voci correlate

• Sistema di disequazioni
• Equazione fratta
• Minimo comune multiplo

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