Disequazione fratta
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In algebra, una disequazione fratta è una disequazione algebrica dove l'incognita compare nel divisore di qualche frazione. Una disequazione di questo tipo, tramite opportuni passaggi algebrici, può ricondursi alla forma seguente:
- oppure
Dove A(x) e B(x) sono due polinomi nella variabile x.
Indice
Risoluzione di disequazioni fratte per via algebrica[modifica | modifica wikitesto]
La disequazione
sarà soddisfatta da tutti i valori della x per cui i due polinomi hanno lo stesso segno (sono concordi), per cui l'insieme delle soluzioni sarà dato dall'unione delle soluzioni dei seguenti due sistemi di disequazioni:
Viceversa, la seconda disequazione
è soddisfatta da tutti i valori della x per cui i due polinomi hanno segno opposto (sono discordi), pertanto l'insieme delle soluzioni è dato dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:
Se la disuguaglianza non è stretta (ossia, se si presenta con il simbolo ≤ o ≥), allora anche i valori che annullano sono soluzioni.
Esempio[modifica | modifica wikitesto]
Portando tutto al primo membro e svolgendo le somme, si ottiene:
Dobbiamo perciò risolvere i due sistemi:
Il primo sistema non ammette soluzioni; il secondo è risolto da , che costituisce dunque la soluzione della disequazione iniziale.
Risoluzione di disequazioni fratte per via grafica[modifica | modifica wikitesto]
Il seguente metodo vale esclusivamente se la disequazione fratta è in forma normale: una frazione algebrica a primo membro confrontata con lo zero al secondo membro. Sappiamo che il segno di una frazione dipende dal segno del Numeratore e del Denominatore secondo la regola dei segni.
La procedura prevede:
- mettere in forma normale la disequazione fratta: frazione algebrica a primo membro confrontata con lo zero al secondo membro
- studio del segno del numeratore (sempre per o per in relazione alla presenza dell'uguale nella disequazione)
- studio del segno del denominatore (sempre per )
- Individuare le condizioni di accettabilità delle soluzioni o, in modo equivalente, determinare il dominio della disequazione (condizioni di esistenza della frazione).
- tracciare uno schema grafico che indica il variare del segno del numeratore e del denominatore comporre il segno della frazione secondo la regola dei segni,
- ricordare che, in corrispondenza di ciascun valore dell'incognita per il quale si annulla il numeratore, si annulla anche la frazione algebrica,
- ricordare che, in corrispondenza di ciascun valore dell'incognita per il quale si annulla il denominatore, la frazione algebrica non esiste,
- evidenziare graficamente gli zeri del numeratore e del denominatore con simboli opportuni (ad esempio O)
- evidenziare graficamente le condizioni di esistenza della Frazione con simboli opportuni (ad esempio )
- guardare il verso della disequazione in forma normale, sullo schema del segno della frazione individuare le soluzioni della disequazione, cioè gli intervalli dell'asse reale che soddisfano la disequazione data.
Esempio 1[modifica | modifica wikitesto]
La disequazione non è in forma normale
È possibile raccogliere il 2 a numeratore e semplificare applicando il 2° principio di equivalenza delle disequazioni
forma normale della disequazione fratta
Studio del segno di N:
Studio del segno di D:
Condizione di esistenza:
Schema del segno
Soluzioni
Si vuole che la frazione sia negativa o nulla, quindi dallo schema grafica del segno della frazione si individuano i seguenti intervalli di soluzione: .
Osservare che l'estremo x=-1 va incluso perché per tale valore la frazione vale zero, l'estremo x=0 è escluso perché per tale valore la frazione non esiste.
Esempio 2[modifica | modifica wikitesto]
la disequazione è già in forma normale
Studio del segno di N: è una disequazione intera di terzo grado
EA: tutte con molteplicità 1
Studio del segno di D: è una disequazione intera di 2º grado
EA: è positiva per
Condizioni di esistenza:
Schema del segno
Soluzioni
La frazione deve essere >0. Dunque le soluzioni sono .
Gli estremi x=-2 e x=2 sono esclusi per le condizioni di esistenza. Gli estremi x=0, x=1, x=-1 sono esclusi perché la frazione deve essere strettamente positiva.
Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]
Di norma il denominatore non può mai essere eliminato perché la presenza dell'incognita impedisce di sapere se esso è negativo o positivo e dunque non si può applicare il 2° principio di equivalenza delle disequazioni. In certe situazioni però il denominatore è sempre positivo o sempre negativo e dunque è possibile semplificare la frazione.
Esempio 3[modifica | modifica wikitesto]
La disequazione non è in forma normale però si osserva che il denominatore è sempre positivo in quanto somma di quadrati di cui il secondo termine sempre positivo. Grazie a questo fatto è possibile applicare il secondo principio di equivalenze delle disequazioni.
Un quadrato è sempre positivo o nullo mai negativo, dunque le soluzioni sono per x=1.