Equazione fratta

Un'equazione si definisce frazionaria (o fratta) se è composta da almeno una frazione algebrica o, più semplicemente, se l'incognita $x$ compare a denominatore. Un'equazione frazionaria univariata è della forma:

${\frac {P(x)}{Q(x)}}=0,$

dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi generici, in questo caso, nella variabile $x.$

Grado

Il grado di ogni polinomio che si trova al denominatore della frazione algebrica deve essere sempre maggiore di zero, altrimenti l'equazione si trasformerebbe in un'equazione intera. A esempio, data l'equazione:

${1 \over 4x-2}=0,$

il grado del denominatore è $1.$

Risoluzione

La procedura risolutiva è la seguente:

• si riducono i denominatori dell'equazione a fattori irriducibili (o, come si suol dire, "ai minimi termini") mediante fattorizzazione, utilizzando i prodotti notevoli e i raccoglimenti;
• si trovano le condizioni di esistenza dell'equazione, imponendo che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero;
• si effettuano passaggi algebrici affinché si possa avere una o più equazioni equivalenti a quella di partenza (cioè equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni);
• si riduce il tutto a una semplice equazione intera;
• si cerca la soluzione.

Campo di esistenza

Il campo di esistenza è l'insieme dei valori dell'incognita (o incognite) per i quali la frazione non perde significato. A esempio, se in ${\frac {1}{x-1}}=0$ il valore di $x$ fosse $1,$ allora si avrebbe come denominatore $0$ e la frazione non avrebbe significato. È quindi necessario porre come campo di esistenza $x\neq 1.$

Esempio

Data l'equazione fratta:

${6 \over {x^{2}-9}}+{1 \over {x+3}}={1 \over 2},$

notare anzitutto che dovrà essere $x\neq \pm 3.$ Moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo $2(x^{2}-9),$ si ottiene così l'equazione di secondo grado:

$12+2(x-3)=(x^{2}-9)\,\Rightarrow \,x^{2}-2x-15=0,$

che ha le due soluzioni $x=5$ e $x=-3.$ La seconda soluzione, però, annulla i due denominatori dell'equazione originale, e pertanto deve essere scartata. Quindi l'unica soluzione dell'equazione originale è $x=5.$

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Disequazione fratta
• Equazione
• Insieme di definizione