Insieme delle soluzioni

In matematica, un insieme delle soluzioni è l'insieme dei valori che soddisfano una o più equazioni e/o disequazioni.

Per esempio, in un insieme $\{f_{i}(x)=0\}$ di equazioni polinomiali a coefficienti reali l'insieme delle soluzioni reali è il sottoinsieme di $\mathbb {R}$ contenente i numeri che sono zeri di tutti i polinomi, formalmente:

$\{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}.\$

I simboli comunemente usati per indicare l'insieme delle soluzioni sono $S$ o anche $\mathbb {S}$. Non si dimentichi che l'insieme delle soluzioni è un sottoinsieme e come tale dipende dall'insieme in cui è contenuto (insieme dei numeri reali $\mathbb {R}$, complessi $\mathbb {C}$, ecc.). Ad esempio, l'equazione $x^{2}=-1$ ha insieme delle soluzioni vuoto: $S=\varnothing =\{\},$ per $x\in \mathbb {R} ,$ ma per $x\in \mathbb {C}$ le soluzioni sono due e quindi ha insieme delle soluzioni: $S=\{\pm i\}$.

L'insieme delle soluzioni può:

• avere una sola soluzione;
• avere diverse o infinite soluzioni;
• non avere soluzioni.

Esempi

Equazioni e soluzioni per $x,y\in \mathbb {R}$ :

• $x=1,\qquad S=\left\{1\right\};$

• $x+2=5,\qquad S=\left\{3\right\};$

• ${\frac {1}{x^{2}}}=9,\qquad S=\{-{\tfrac {1}{3}};{\tfrac {1}{3}}\};$

• $x^{2}\leq 4,\qquad S=[-2;2]$, l'insieme delle soluzioni è un intervallo;

• $xy=1,\qquad S=\left\{\left(x;{\frac {1}{x}}\right)|x\neq 0\right\}$, l'insieme delle soluzioni è formato da coppie ordinate.

Un sistema di equazioni lineari:

• $\left\{{\begin{matrix}x&+&2y&=&8\\2x&+&y&=&7,\end{matrix}}\right.\qquad S=\{(2,3)\}.$

Curiosità

In geometria algebrica, gli insiemi delle soluzioni di equazioni polinomiali sono usati per definire la topologia di Zariski (vedere varietà algebrica).

Voci correlate

• Risoluzione di un'equazione
• Equazione
• Insieme