Angolo solido

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In geometria un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano. Esso è definito come ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette passanti per uno stesso punto (detto vertice dell'angolo solido) e per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su una superficie non contenente il vertice. L'unità di misura dell'angolo solido è lo steradiante.

Un caso particolare di angolo solido è l’angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide) che si ottiene quando la curva è un poligono. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti a una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.

Misura dell'angolo solido[modifica | modifica wikitesto]

Angolo solido W sotteso in una sfera di raggio R

La misura in steradianti dell'angolo solido è definita come , dove è l'area della porzione di superficie sferica di raggio vista sotto l'angolo . Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolo piano in radianti come , dove è la lunghezza dell'arco di cerchio di raggio sotteso da . L'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto a un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di raggio qualsiasi centrata in P.

Dalla precedente definizione consegue che l'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura . Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per (180/π)2, ovvero per (circa). Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel caso di un cono di apertura , la misura dell'angolo solido rispetto al vertice è uguale a:

Questa formula può essere facilmente verificata calcolando con essa l'angolo solido sotteso da mezza sfera, cioè da un angolo pari a . La formula diventa:

che è uguale alla metà di che è l'intero angolo solido.

  • Una semplice formula per calcolare la misura dell'angolo solido sotteso di un triangolo di vertici , e e visto dall'origine è stata formulata da Oosterom e Strackee:

dove:

è la rappresentazione vettoriale del punto ;
denota la distanza del punto dall'origine (norma euclidea di );
denota il prodotto scalare;
denota il prodotto vettoriale;
denota il valore assoluto.

Il segno del numeratore (prima della valutazione del modulo) indica se dall'origine è visibile la faccia interna del triangolo () o la faccia esterna (). L'orientazione della triangolo è definita tramite l'orientazione dei suoi vertici (senso orario o antiorario).

NOTA BENE: Nel caso in cui il denominatore risultasse negativo, l'arcotangente restituirebbe un valore negativo, a cui deve essere aggiunto .

Il sole e la luna sono visti dalla Terra all'incirca sotto lo stesso angolo solido, che corrisponde più o meno a 1/100000 della volta celeste.

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