Algebra (teoria degli anelli)

In matematica, in particolare nella teoria degli anelli, un'algebra su di un anello commutativo è una generalizzazione del concetto di algebra su campo in cui il campo è rimpiazzato da un anello commutativo.

Definizione

Sia $R$ un anello commutativo. Una $R$-algebra è un $R$-modulo $A$ con un'operazione binaria $[\cdot ,\cdot ]$:

$[\cdot ,\cdot ]:A\times A\to A$

detta $A$-moltiplicazione, che soddisfa il seguente assioma di bilinearità:

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]\qquad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

per ogni scelta di scalari $a,b\in R$ e di elementi $x,y,z\in A$.

Algebre associative

Se $A$ è un monoide rispetto alla $A$-moltiplicazione (è associativo e possiede l'identità), allora la $R$-algebra è un'algebra associativa. Si tratta di un omomorfismo $f:R\to A$ tale per cui l'immagine di $f$ è contenuta nel centro di $A$.

Bibliografia

• Serge Lang (2002): Algebra, 3rd edition, Springer, ISBN 0-387-95385-X. Chap. IV, VI

Voci correlate

• Algebra su campo
• Algebra abeliana
• Coalgebra
• algebra di Lie
• Semianello

Collegamenti esterni

• (EN) Unital associative algebras in PlanetMath