Operatore bilineare

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In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano V, W e X tre spazi vettoriali sullo stesso campo F; un operatore bilineare è una funzione:

B : V \times W \rightarrow X

tale che per ogni w \in W la mappa:

v \mapsto B(v, w)

è un operatore lineare da V a X, e per ogni v\in V la mappa:

w \mapsto B(v, w)

è un operatore lineare da W a X. In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.

Se V = W e si ha B(v,w)=B(w,v) per ogni v,w \in V, allora B è simmetrico.

Nel caso in cui X = F, si ha una forma bilineare, e questo caso è particolarmente utile nello studio, per esempio, del prodotto scalare e delle forme quadratiche.

La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo R. È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in n variabili, e il termine appropriato è multilineare.

Nel caso di un anello non commutativo R, un modulo destro M_R e un modulo sinistro _RN, possiamo definire un operatore bilineare B: M \times N \rightarrow T, ove T è un gruppo abeliano, tale che per ogni n \in N, m \mapsto B(m,n), e per ogni m \in M, n \mapsto B(m,n) sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa:

B(mt,n) = B(m,tn)

per ogni m \in M, n \in N, t \in R.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che B(x,y)=\mathbf{0} ogni volta che x=\mathbf{0} or y=\mathbf{0}. Ciò si prova scrivendo il vettore nullo \mathbf{0} come 0 \cdot \mathbf{0} e spostando lo scalare 0 "al di fuori", davanti a B, per linearità.

L'insieme L(V,W;X) di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da V \times W in X.

Se V, W, X sono di dimensione finita, allora lo è anche L(V,W;X). Se X=F, (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è \mathrm{dim}V \cdot \mathrm{dim}W (mentre lo spazio L(V \times W;K) di forme lineari ha dimensione \mathrm{dim}V+\mathrm{dim}W). Per provarlo, si scelgano una base \mathcal{B} per V e una base \mathcal{C} per W; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice A data da a_{ij} = B(b_i,c_j), e viceversa (qui b_i e c_j denotano rispettivamente l'i-esimo elemento della base \mathcal{B} e il j-esimo elemento della base \mathcal{C}).

Se X è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente \mathrm{dim}L(V,W;X)=\mathrm{dim}V \cdot \mathrm{dim}W \cdot \mathrm{dim}X.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare M(m,n) \times M(n,p) \rightarrow M(m,p).
  • Se in uno spazio vettoriale V sul campo dei numeri reali \mathbb{R} definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare V \times V \rightarrow \mathbb{R}.
  • In generale, per uno spazio vettoriale V su un campo F, una forma bilineare su V è equivalente a un operatore bilineare V \times V \rightarrow F.
  • Se V è uno spazio vettoriale, V^{*} è il suo spazio duale e v \in V, f \in V^{*}, allora l'operatore di applicazioni b(f,v) = f(v) è un operatore bilineare da V \times W nel campo di base.
  • Siano V e W due spazi vettoriali sullo stesso campo F. Se f è un elemento di V^{*} e g è un elemento di W^{*}, allora b(v,w) = f(v)g(w) definisce un operatore bilineare V \times W \rightarrow F.
  • Il prodotto vettoriale in \mathbb{R}^3 è un operatore bilineare \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3.
  • Siano B:V \times W \rightarrow X un operatore bilineare e L: U \rightarrow W un operatore lineare; allora (v,u) \mapsto B(v,L(u)) è un operatore bilineare su V \times U.
  • La mappa nulla, definita da B(v,w) = \mathbf{0} per ogni (v,w) \in V \times W è l'unica mappa da V \times W in X che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se (v,w) \in V \times W e B è una mappa sia lineare che bilineare, allora B(v,w)= B(v,\mathbf{0}) + B(\mathbf{0},w) (per linearità rispetto alla somma di V \times W) e B(v,\mathbf{0}) + B(\mathbf{0},w) = \mathbf{0}+\mathbf{0} = \mathbf{0} (per bilinearità).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra , 1 , Addison-Wesley (1974) pp. Chapt.1;2
  • (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1974)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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