Operatore bilineare

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In matematica, un operatore bilineare è una generalizzazione della moltiplicazione che soddisfa la legge distributiva.

Indice

1 Definizione
2 Proprietà
3 Esempi
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

Siano $V$ , $W$ e $X$ tre spazi vettoriali sullo stesso campo F; un operatore bilineare è una funzione

$B : V \times W \rightarrow X$

tale che per ogni $w \in W$ la mappa

$v \mapsto B(v, w)$

è un operatore lineare da $V$ a $X$ , e per ogni $v\in V$ la mappa

$w \mapsto B(v, w)$

è un operatore lineare da $W$ a $X$ . In altre parole, se si tiene il primo argomento dell'operatore bilineare fisso, mentre si fa variare il secondo argomento, si ottiene un operatore lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento.

Se $V = W$ e si ha $B(v,w)=B(w,v)$ per ogni $v,w \in V$ , allora $B$ è simmetrico.

Nel caso in cui $X = F$ , si ha una forma bilineare; questo caso è particolarmente utile (vedere per esempio prodotto scalare, prodotto interno e forma quadratica).

La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo $R$ . È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in $n$ variabili, e il termine appropriato è multilineare.

Nel caso di un anello non commutativo $R$ , un modulo destro $M_R$ e un modulo sinistro $_RN$ , possiamo definire un operatore bilineare $B: M \times N \rightarrow T$ , ove $T$ è un gruppo abeliano, tale che per ogni $n \in N$ , $m \mapsto B(m,n)$ , e per ogni $m \in M$ , $n \mapsto B(m,n)$ sono omomorfismi di gruppi, e che inoltre soddisfa

$B(mt,n) = B(m,tn)$

per ogni $m \in M, n \in N, t \in R$ .

[modifica] Proprietà

Una prima immediata conseguenza della definizione è il fatto che $B(x,y)=\mathbf{0}$ ogni volta che $x=\mathbf{0}$ or $y=\mathbf{0}$ . (Ciò si prova scrivendo il vettore nullo $\mathbf{0}$ come $0 \cdot \mathbf{0}$ e spostando lo scalare $0$ "al di fuori", davanti a $B$ , per linearità.)

L'insieme $L(V,W;X)$ di tutte le mappe bilineari è un sottospazio lineare dello spazio (spazio vettoriale, modulo) di tutte le mappe da $V \times W$ in $X$ .

Se $V, W, X$ sono di dimensione finita, allora lo è anche $L(V,W;X)$ . Se $X=F$ , (per es. nel caso di una forma bilineare) la dimensione di questo spazio è $\mathrm{dim}V \cdot \mathrm{dim}W$ (mentre lo spazio $L(V \times W;K)$ di forme lineari ha dimensione $\mathrm{dim}V+\mathrm{dim}W$ ). Per provarlo, si scelgano una base $\mathcal{B}$ per $V$ e una base $\mathcal{C}$ per $W$ ; a questo punto ogni mappa bilineare può essere univocamente rappresentata dalla matrice $A$ data da $a_{ij} = B(b_i,c_j)$ , e viceversa (qui $b_i$ e $c_j$ denotano rispettivamente l' $i$ -esimo elemento della base $\mathcal{B}$ e il $j$ -esimo elemento della base $\mathcal{C}$ ).
Se $X$ è uno spazio di dimensione superiore, si ha banalmente $\mathrm{dim}L(V,W;X)=\mathrm{dim}V \cdot \mathrm{dim}W \cdot \mathrm{dim}X$ .

[modifica] Esempi

La moltiplicazione di matrici è una mappa bilineare $M(m,n) \times M(n,p) \rightarrow M(m,p)$ .
Se in uno spazio vettoriale $V$ sul campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ definito un prodotto scalare, allora il prodotto scalare è un operatore bilineare $V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ .
In generale, per uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$ , una forma bilineare su $V$ è equivalente a un operatore bilineare $V \times V \rightarrow F$ .
Se $V$ è uno spazio vettoriale, $V^{*}$ è il suo spazio duale e $v \in V, f \in V^{*}$ , allora l'operatore di applicazioni $b(f,v) = f(v)$ è un operatore bilineare da $V \times W$ nel campo di base.
Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $F$ . Se $f$ è un elemento di $V^{*}$ e $g$ è un elemento di $W^{*}$ , allora $b(v,w) = f(v)g(w)$ definisce un operatore bilineare $V \times W \rightarrow F$ .
Il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^3$ è un operatore bilineare $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ .
Siano $B:V \times W \rightarrow X$ un operatore bilineare e $L: U \rightarrow W$ un operatore lineare; allora $(v,u) \mapsto B(v,L(u))$ è un operatore bilineare su $V \times U$ .
La mappa nulla, definita da $B(v,w) = \mathbf{0}$ per ogni $(v,w) \in V \times W$ è l'unica mappa da $V \times W$ in $X$ che sia nel contempo bilineare e lineare. Infatti, se $(v,w) \in V \times W$ e $B$ è una mappa sia lineare che bilineare, allora $B(v,w)= B(v,\mathbf{0}) + B(\mathbf{0},w)$ (per linearità rispetto alla somma di $V \times W$ ) e $B(v,\mathbf{0}) + B(\mathbf{0},w) = \mathbf{0}+\mathbf{0} = \mathbf{0}$ (per bilinearità).