Trasformazione che preserva la misura

In teoria della misura, una trasformazione che preserva la misura è un particolare tipo di trasformazione misurabile o, più in particolare, di trasformazione non singolare.

Definizione

Sia $(X,{\mathcal {A,\mu )}}$ uno spazio di misura e sia $S\colon X\to X$ una trasformazione misurabile. Si dice che la trasformazione $S$ preserva la misura se

$\mu (S^{-1}(A))=\mu (A),\;\;\;\forall A\in {\mathcal {A}}.$

Banalmente, la trasformazione identica $I$ su $(X,{\mathcal {A,\mu )}}$ preserva la misura. Il teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.

Esempio: diffeomorfismo di Anosov

Sia ${\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}$ un $k$-toro. Presa $A$ una matrice invertibile definita su $\mathbb {Z}$ di taglia $k$, essa definirà naturalmente una mappa lineare da $\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}$ tale che $(x_{1},\dots ,x_{k})\mapsto A(x_{1},\dots ,x_{k})$. Essendo $A$ una matrice a entrate intere, essa mappa $\mathbb {Z} ^{k}$ in sé. A ci permette di definire una mappa $T_{A}\colon \mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}$ tale che $(x_{1},\dots ,x_{k})\mapsto A(x_{1},\dots ,x_{k}){\pmod {1}}$ (ben definita) detta endomorfismo torale lineare; nel caso in cui $|\det A|=1$ essa è invertibile dunque un automorfismo.

Sia dunque $S(x,y)=(x+y,x+2y){\pmod {1}}$ un diffeomorfismo di Anosov.

Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è

$J=\det {\begin{vmatrix}1&1\\1&2\\\end{vmatrix}}=1,$

dunque la trasformazione preserva la misura.

Gli autovalori della trasformazione $S$ sono $\lambda _{1}={\frac {3}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}$ e $\lambda _{1}={\frac {3}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}$, con $0<\lambda _{1}<1<\lambda _{2}$.

Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione $(S^{-1}(x,y)=(2x-y,y-x))$ e utilizzarla per calcolare esplicitamente l'operatore mediante la formula di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari: $Pf(x,y)=f(2x-y,y-x){\pmod {1}}.$ Inoltre $P1=1$, quindi $S$ preserva la misura di Borel.

Esempio: mappa di Gauss

La mappa di Gauss $T(x)={\frac {1}{x}}-\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor$, con $Y=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$, $T\colon Y\to Y$, preserva la misura di Gauss $\mu$ data da

$\mu (A)={\frac {1}{\log {2}}}\int _{A}^{}{\frac {1}{1+x}}dx$

per ogni insieme di Borel $A\subseteq [0,1]$ misurabile.

$T^{-1}[0,s]=\left\{x|0\leq T(x)\leq s\ \right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{s+n}},{\frac {1}{n}}\right]$

è un'unione disgiunta, quindi

$\mu (T^{-1}[0,s])={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{s+n}}^{\frac {1}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx$

$={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {1}{s+n}}\right)\right)$

$={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {s}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {s}{n+1}}\right)\right)$

$={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {s}{n+1}}^{\frac {s}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx$

$=\mu ([0,s]).$

Caratterizzazione delle trasformazioni che preservano la misura

Siano $(X_{i},{\mathcal {B}}_{i},\mu _{i})$ spazi di probabilità, con $i=1,2$. Sia $T\colon X_{1}\to X_{2}$ una trasformazione. Sia ${\mathcal {S}}_{2}$ una semi-algebra che genera ${\mathcal {B}}_{2}$. Allora $T$ è misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni $A\in {\mathcal {S}}_{2}$ si ha $T^{-1}(A)\in {\mathcal {B}}_{1}$ e $\mu _{1}(T^{-1}(A))=\mu _{2}(A)$.

Bibliografia

• Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
• Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.

Voci correlate

• Spazio di misura
• Funzione misurabile
• Trasformazione non singolare
• Teoria ergodica
• Teorema di ricorrenza di Poincaré