Superficie cartesiana esplicita

Una funzione $z=f(x,y)$ di classe $C^1$ definita nell'insieme aperto $\Omega$, rappresenta una superficie cartesiana esplicita.

Piano tangente

Se la superficie è differenziabile in tutti i punti $(x_0,y_0,z_0)$ della superficie allora esiste il piano tangente:

$\zeta = f(x_0,y_0) + f_{x}(x - x_0) + f_{y}(y - y_0)$

Normale

Noto il piano tangente si possono definire due vettori normali:

$\vec n = \{ f_{x}, f_{y}, \pm 1 \}$

e quindi normalizzando otteniamo due versori normali:

$\vec n = \frac{\{ f_{x}, f_{y}, \pm1 \}}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}$

Area di una superficie cartesiana esplicita

L'area di una superficie cartesiana esplicita è data dalla somma di tutte le superfici infinitesime che vogliamo approssimino la nostra superficie moltiplicate per i rispettivi versori normali. Al limite di queste superfici infinitesime (o ugualmente al limite del numero di superfici infinitesime che tende all'infinito) la somma tende all'integrale:

$A(S)= \iint_{\Omega} \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1} dx dy$

Parametrizzazione

Qualsiasi superficie cartesiana esplicita si può parametrizzare:

$\begin{cases} x = u \\ y = v \\ z = \phi (u,v) \end{cases}$

In tal modo valgono tutte le considerazioni fatte per le superfici parametriche.

Voci correlate

• Superficie parametrica
• Superficie cartesiana implicita
• Integrale multiplo
• Normale

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