Metodo di Laguerre

Il metodo di Laguerre è un metodo iterativo per trovare le radici reali di un polinomio, introdotto dal matematico francese Edmond Nicolas Laguerre.

La formula per l'iterazione è:

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {nP(x_{k})}{P'(x_{k})\pm {\sqrt {(n-1)[(n-1)(P'(x_{k}))^{2}-nP(x_{k})P''(x_{k})}}]}}$,

dove $x_{0}$ è il valore iniziale scelto per innescare la procedura iterativa, $P(x)$ è il polinomio, $P'(x)$ è la sua derivata prima, $P''(x)$ è la sua derivata seconda, $n$ è il grado del polinomio $P(x)$. Il segno scelto per la radice quadrata deve essere concorde a quello di $P'(x_{k})$ quando non nullo, per ottenere il rapporto minore.

Cambiando il valore iniziale di $x_{0}$ è possibile ricercare, se esiste, una radice reale diversa.

Esempio:
Sia $P(x)=4x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-4x+1$
quindi $P'(x)=16x^{3}+9x^{2}-10x-4$
e $P''(x)=48x^{2}+18x-10$
Per $x_{0}=0$
$x_{1}=0,1975496259559987...$
$x_{2}=0,2055025290836081...$
$x_{3}=0,2055031204717088...$
$x_{4}=0,2055031204717088...$
per $x_{0}=1$
$x_{1}=1,0755226110163770...$
$x_{2}=1,0756019089596258...$
$x_{3}=1,0756019089597004...$
$x_{4}=1,0756019089597004...$

La convergenza del metodo di Laguerre è molto veloce.

Bibliografia

• Edmond Nicolas Laguerre Oeuvres Complètes t. 1 (New York : Chelsea publ., 1972) ISBN 0828402639
• A. Ralston, P. Rabinowitz A first course in numerical analysis (New York: Dover, 2001) p. 371 ISBN 048641454X