Problema dell'anello portatovagliolo

Se un buco di altezza $h$ è scavato al centro di una sfera, il volume della parte di solido rimanente non dipende dalla dimensione della sfera

Animazione della sezione di un anello portatovagliolo con altezza costante

In geometria, il problema dell'anello portatovagliolo è il calcolo del volume della parte di solido rimanente in una sfera dopo aver scavato un buco cilindrico concentrico alla sfera stessa. È controintuitivo il fatto che il volume non dipenda dalle dimensioni della sfera (ovvero, dal suo raggio), ma solo dall'altezza del solido risultante.

Il nome del problema deriva dal fatto che la forma geometrica risultante ricorda quella di un anello portatovagliolo.

Enunciato

Supponiamo che l'asse di un cilindro passi per il centro di una sfera di raggio $R$ e che $h$ sia l'altezza (calcolata parallelamente all'asse) della parte di cilindro che entra nella sfera. Il volume del solido risultante dalla rimozione della parte di cilindro dalla sfera dipende da $h$ ma non da $R$:

$V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$

Dimostrazione

Indichiamo con $R$ il raggio della sfera e con $h$ l'altezza della galleria scavata dal cilindro nella sfera.

Schema delle dimensioni dell'anello

Un anello portatovagliolo pirografato

Per il teorema di Pitagora, il raggio del cilindro è:

${\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}}$

e il raggio della sezione orizzontale della sfera a una generica altezza $y$ è:

${\sqrt {R^{2}-y^{2}}}$

L'area della sezione dell'anello sferico ad altezza $y$ (che indichiamo con $S_{a}(y)$) è la differenza tra l'area della sezione della sfera ad altezza $y$ e l'area della sezione del cilindro:

$S_{a}(y)=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).$

Il raggio $R$ non appare nel precedente risultato; segue che l'area della sezione orizzontale dell'anello non dipende dal raggio della sfera. Lo stesso vale per il volume dell'anello, che è l'integrale della sezione orizzontale calcolata in funzione dell'altezza:

${\begin{aligned}\int _{-h/2}^{h/2}S_{a}(y)dy&=\int _{-h/2}^{h/2}\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right)dy\\&=\pi \left({\frac {h^{2}}{4}}y{\Big |}_{-h/2}^{h/2}-{\frac {1}{3}}y^{3}{\Big |}_{-h/2}^{h/2}\right)\\&={\frac {\pi h^{3}}{6}}.\end{aligned}}$

Lo stesso risultato si otterrebbe applicando il principio di Cavalieri: solidi aventi sezioni corrispondenti di area uguale hanno volumi uguali. Infatti, l'area della sezione dell'anello è la stessa della sezione di una sfera di raggio $h/2$, la quale ha volume:

${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$

Bibliografia

• (EN) Keith Devlin, The Napkin Ring Problem, Mathematical Association of America, 2008. URL consultato il 2 giugno 2018 (archiviato dall'url originale l'11 agosto 2011).
• (EN) Keith Devlin, Lockhart's Lament, Mathematical Association of America, 2008. URL consultato il 2 giugno 2018 (archiviato dall'url originale l'11 agosto 2011).
• (EN) Martin Gardner, Hole in the Sphere, in My best mathematical and logic puzzles, Dover Publications, 1994, p. 8.
• (EN) Samuel I. Jones, Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners, Norwood, MA, J. B. Cushing Co., 1912. Problem 132 asks for the volume of a sphere with a cylindrical hole drilled through it, but does not note the invariance of the problem under changes of radius.
• (EN) Mark Levi, 6.3 How Much Gold Is in a Wedding Ring?, in The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems, Princeton University Press, 2009, pp. 102–104, ISBN 978-0-691-14020-9. Levi argues that the volume depends only on the height of the hole based on the fact that the ring can be swept out by a half-disk with the height as its diameter.
• (EN) L. Lines, Solid geometry: With Chapters on Space-lattices, Sphere-packs and Crystals, Dover, 1965. Reprint of 1935 edition. Un problema in pagina 101 descrive la forma generata da un cilindro rimosso come "anello portatovagliolo" e chiede la dimostrazione del fatto che il volume è lo stesso rispetto a quello della sfera con diametro uguale alla lunghezza del buco.
• (EN) George Pólya, Mathematics and Plausible Reasoning, Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press, 1990, pp. 191–192. Reprint of 1954 edition.
• (EN) David E. Smith e Yoshio Mikami, A History of Japanese Mathematics, Open Court Publishing Company, 1914, pp. 121–123. Republished by Dover, 2004, ISBN 0-486-43482-6. Smith and Mikami discuss the napkin ring problem in the context of two manuscripts of Seki on the mensuration of solids, Kyuseki and Kyuketsu Hengyo So.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Spherical Ring, in MathWorld, Wolfram Research.