Ottica matriciale

L'ottica matriciale è un particolare formalismo che permette di ricavare la traiettoria di un raggio luminoso (nelle approssimazioni dell'ottica geometrica) all'interno di un sistema ottico centrato; più nel dettaglio il raggio luminoso viene schematizzato come un vettore colonna a due componenti non omogenee: la prima rappresenta la distanza del raggio dall'asse ottico del sistema, la seconda invece la sua inclinazione rispetto allo stesso asse.

Notazione

Se si indica con z la distanza misurata sull'asse ottico, in ottica matriciale un raggio luminoso viene scritto come

$\vec{r}(z)=\begin{pmatrix} r(z) \\ \frac{dr}{dz}(z) \end{pmatrix}$

Consideriamo poi un qualsiasi elemento ottico attraversato dal raggio ed indichiamo con $\vec{r}_i(z)$ e $\vec{r}_o(z)$ rispettivamente il raggio in ingresso e in uscita dall'elemento considerato, l'ottica geometrica permette di ricavare $\vec{r}_o(z)$ a partire da $\vec{r}_i(z)$ con una relazione del tipo

$\vec{r}_o(z)=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \vec{r}_i(z)$

dove la matrice 2$\times$2 ABCD è una caratteristica dell'elemento ottico considerato. Con questo formalismo la propagazione attraverso due elementi ottici consecutivi caratterizzati da matrici M$_1$ e M$_2$ è data da un unico elemento descritto dalla matrice prodotto M$_1$ M$_2$.

Esempi notevoli

Mezzo omogeneo di spessore d

$M=\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Interfaccia piana tra due dielettrici con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$

$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}$

Interfaccia curva (raggio di curvatura $R$) tra due dielettrici con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$

$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{n_2R} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}$

Lente sottile di focale $f\quad$ (attenzione: $f<0$ se la lente è divergente)

$M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{pmatrix}$

Due lenti di focali $f_1\quad$ e $f_2\quad$ in configurazione telescopica

$M=\begin{pmatrix} \frac{f_2}{f_1} & f_1+f_2 \\ 0 & \frac{f_1}{f_2} \end{pmatrix}$

Fibra ottica o lente GRIN con indice di rifrazione graduato secondo la legge $n=n_0-\frac{1}{2}n_2r^2$ e pitch $\frac{\varphi}{2\pi}$

$M=\begin{pmatrix} \cos{\varphi} & \frac{\sin{\varphi}}{\sqrt{n_0n_2}} \\ -\frac{\sin{\varphi}}{\sqrt{n_0n_2}} & \cos{\varphi} \end{pmatrix}$

Con argomenti termodinamici si può dimostrare una proprietà generale delle matrici ABCD dell'ottica geometrica e cioè che il determinante di tali matrici $AD-BC$ è sempre uguale al rapporto $\frac{n_1}{n_2}$ fra gli indici di rifrazione dei mezzi di ingresso e uscita dell'elemento ottica considerato.