Ottica matriciale

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L'ottica matriciale è un particolare formalismo che permette di ricavare la traiettoria di un raggio luminoso (nelle approssimazioni dell'ottica geometrica) all'interno di un sistema ottico centrato; più nel dettaglio il raggio luminoso viene schematizzato come un vettore colonna a due componenti non omogenee: la prima rappresenta la distanza del raggio dall'asse ottico del sistema, la seconda invece la sua inclinazione rispetto allo stesso asse.

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

Se si indica con z la distanza misurata sull'asse ottico, in ottica matriciale un raggio luminoso viene scritto come

\vec{r}(z)=\begin{pmatrix}
r(z)  \\
\frac{dr}{dz}(z)
\end{pmatrix}

Consideriamo poi un qualsiasi elemento ottico attraversato dal raggio ed indichiamo con \vec{r}_i(z) e \vec{r}_o(z) rispettivamente il raggio in ingresso e in uscita dall'elemento considerato, l'ottica geometrica permette di ricavare \vec{r}_o(z) a partire da \vec{r}_i(z) con una relazione del tipo

\vec{r}_o(z)=\begin{pmatrix}
A & B  \\
C & D
\end{pmatrix} \vec{r}_i(z)

dove la matrice 2\times2 ABCD è una caratteristica dell'elemento ottico considerato. Con questo formalismo la propagazione attraverso due elementi ottici consecutivi caratterizzati da matrici M_1 e M_2 è data da un unico elemento descritto dalla matrice prodotto M_1 M_2.


Esempi notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Mezzo omogeneo di spessore d

M=\begin{pmatrix}
1 & d  \\
0 & 1
\end{pmatrix}

Interfaccia piana tra due dielettrici con indici di rifrazione n_1 e n_2

M=\begin{pmatrix}
1 & 0  \\
0 & \frac{n_1}{n_2}
\end{pmatrix}

Interfaccia curva (raggio di curvatura R) tra due dielettrici con indici di rifrazione n_1 e n_2

M=\begin{pmatrix}
1 & 0  \\
\frac{n_1-n_2}{n_2R} & \frac{n_1}{n_2}
\end{pmatrix}

Lente sottile di focale f\quad (attenzione: f<0 se la lente è divergente)

M=\begin{pmatrix}
1 & 0  \\
-\frac{1}{f} & 1
\end{pmatrix}

Due lenti di focali f_1\quad e f_2\quad in configurazione telescopica

M=\begin{pmatrix}
\frac{f_2}{f_1} & f_1+f_2  \\
0 & \frac{f_1}{f_2}
\end{pmatrix}


Fibra ottica o lente GRIN con indice di rifrazione graduato secondo la legge n=n_0-\frac{1}{2}n_2r^2 e pitch \frac{\varphi}{2\pi}

M=\begin{pmatrix}
\cos{\varphi} & \frac{\sin{\varphi}}{\sqrt{n_0n_2}}  \\
-\frac{\sin{\varphi}}{\sqrt{n_0n_2}} & \cos{\varphi}
\end{pmatrix}


Con argomenti termodinamici si può dimostrare una proprietà generale delle matrici ABCD dell'ottica geometrica e cioè che il determinante di tali matrici AD-BC è sempre uguale al rapporto  \frac{n_1}{n_2} fra gli indici di rifrazione dei mezzi di ingresso e uscita dell'elemento ottico considerato.