Bootstrap (statistica)

Il bootstrap è una tecnica statistica di ricampionamento con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette perciò di approssimare media e varianza di uno stimatore, costruire intervalli di confidenza e calcolare p-value di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso di campionamento casuale semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità pari ad n, diciamo $x=(x_{1},...,x_{n})$ . Da $x$ si ricampionano m altri campioni di numerosità costante pari ad n, diciamo $x_{1}^{*},...,x_{m}^{*}$ ; in ciascuna estrazione bootstrap, i dati provenienti dal primo elemento del campione, cioè $x_{1}$ , possono essere estratti più di una volta e ciascun dato ha probabilità pari a 1/n di essere estratto.

Sia $T$ lo stimatore di $\theta$ che ci interessa studiare, diciamo $T(x)={\hat {\theta }}$ . Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, $T(x_{1}^{*}),...,T(x_{m}^{*})$ . In questo modo si hanno a disposizione m stime di $\theta$ , dalle quali è possibile calcolare la media bootstrap, la varianza bootstrap, i percentili bootstrap etc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di $T(x)$ .