Metodo bootstrap

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Il bootstrap è una tecnica statistica di ricampionamento con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette perciò di approssimare media e varianza di uno stimatore, costruire intervalli di confidenza e calcolare p-values di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso semplice di campionamento casuale semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità pari ad n, diciamo x=(x_1,...,x_n). Da x si ricampionano m altri campioni di numerosità costante pari ad n, diciamo x^*_1,...,x^*_m; in ciascuna estrazione bootstrap, i dati provenienti dal primo elemento del campione, cioè x_1, possono essere estratti più di una volta e ciascun dato ha probabilità pari a 1/n di essere estratto.

Sia T lo stimatore di \theta che ci interessa studiare, diciamo T(x)=\hat{\theta}. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, T(x^*_1),...,T(x^*_m). In questo modo si hanno a disposizione m stime di \theta, dalle quali è possibile calcolare la media bootstrap, la varianza bootstrap, i percentili bootstrap etc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di T(x).

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile calcolare intervalli di confidenza, saggiare ipotesi, etc.

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