Matrice gramiana di controllabilità

In teoria del controllo, la matrice gramiana di controllabilità è una matrice di Gram usata per determinare se un sistema dinamico è controllabile. Per un sistema lineare invariante rispetto al tempo

$\dot{x} = A x + B u$

la gramiana di controllabilità è definita come

$W_c (t) = \int\limits_0^t e^{-A\tau} B B^T e^{-A^T \tau} d\tau = \int\limits_0^t e^{A(t-\tau)} B B^T e^{A^T(t-\tau)} d\tau$

La coppia $(A,B)$ è controllabile se e solo se la matrice $W_c$ è non singolare, cioè $W_c$ ha rango pieno per ogni $t > 0$. È inoltre possibile provare che se la matrice $A$ è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è proprio $W_c$.

La definizione può essere estesa ai sistemi tempo varianti. Il sistema

$\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)$,

è controllabile in un intervallo $[t_0,t_1]$ se e solo se le righe della matrice $\Phi(t_0,\tau)B(\tau)$, dove $\Phi$ è la matrice di transizione di stato, sono linearmente indipendenti. La gramiana può essere usata proprio per provare questo. Si ha indipendenza lineare se e solo se la matrice gramiana di controllabilità

$W_c(t) = \int\limits_{t_0}^{t} \Phi(t_0,\tau)B(\tau)B^T(\tau)\Phi^T(t_0,\tau) d\tau$

è non singolare, cioè invertibile.

Voci correlate

• Matrice gramiana di osservabilità
• Matrice di Gram
• Equazione di Sylvester

Note

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