Matrice gramiana di controllabilità

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In teoria del controllo, la matrice gramiana di controllabilità è una matrice di Gram usata per determinare se un sistema dinamico è controllabile. Per un sistema lineare invariante rispetto al tempo

\dot{x} = A x + B u

la gramiana di controllabilità è definita come

W_c (t) = \int\limits_0^t e^{-A\tau} B B^T e^{-A^T \tau} d\tau = \int\limits_0^t e^{A(t-\tau)} B B^T e^{A^T(t-\tau)} d\tau

La coppia (A,B) è controllabile se e solo se[1] la matrice W_c è non singolare, cioè W_c ha rango pieno per ogni t > 0. È inoltre possibile provare che se la matrice A è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è proprio W_c.

La definizione può essere estesa ai sistemi tempo varianti. Il sistema

\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t),

è controllabile in un intervallo [t_0,t_1] se e solo se le righe della matrice \Phi(t_0,\tau)B(\tau), dove \Phi è la matrice di transizione di stato, sono linearmente indipendenti. La gramiana può essere usata proprio per provare questo. Si ha indipendenza lineare se e solo se la matrice gramiana di controllabilità

W_c(t) = \int\limits_{t_0}^{t} \Phi(t_0,\tau)B(\tau)B^T(\tau)\Phi^T(t_0,\tau) d\tau

è non singolare, cioè invertibile.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Controllability Gramian Lecture notes to ECE 521 Modern Systems Theory by Professor A. Manitius, ECE Department, George Mason University.