Equazione di Sylvester

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L'equazione di Sylvester, spesso incontrata in teoria del controllo, è un'equazione matriciale della forma

A X + X B = C,

dove A,B,X,C sono matrici di dimensione n \times n. A,B,C sono note. Il problema consiste nel trovare X. L'equazione di Sylvester è un caso particolare dell'equazione di Lyapunov continua (quando la matrice A è hermitiana).

Esistenza e unicità della soluzione[modifica | modifica sorgente]

Usando il prodotto di Kronecker e l'operatore di vettorializzazione \operatorname{vec}, si può riscrivere l'equazione nella forma

 (I_n \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,

dove I_n è la matrice identità di dimensione n \times n. In questa forma, l'equazione di Sylvester può essere vista come un sistema lineare di dimensione n^2 \times n^2.[1]

Se L e M in A=ULU^{-1} e B^T=VMV^{-1} sono le forme canoniche di Jordan rispettivamente di A e B^T, e \lambda_i e \mu_j sono rispettivamente i loro autovalori, si può scrivere

I_n \otimes A +  B^T \otimes I_n = (V\otimes U)(I_n \otimes L +  M \otimes I_n)(V \otimes U)^{-1}.

Dato che (I_n \otimes L +  M \otimes I_n) è una matrice triangolare superiore con \lambda_i+\mu_j sulla diagonale , la matrice a sinistra dell'equazione è singolare se e solo se esistono i e j tali che \lambda_i=-\mu_j.

Quindi, si è provato che l'equazione di Sylvester ha un'unica soluzione se e solo se A e -B non hanno autovalori in comune. È inoltre possibile provare che se la matrice A è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è la matrice gramiana di controllabilità.

Soluzioni numeriche[modifica | modifica sorgente]

Un classico algoritmo per la risoluzione numerica dell'equazione di Sylvester è l'algoritmo di Bartels-Stewart, che consiste nel trasformare le matrici A e B nella loro decomposizione di Schur tramite un algoritmo QR e poi risolvere il sistema triangolare ottenuto sostituendo all'indietro. Questo algoritmo, il cui costo computazionale è O(n^3) operazioni aritmetiche, viene utilizzato, tra i tanti, da LAPACK e dalla funzione lyap in GNU Octave.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Tuttavia, questo espediente è utile solo ai fini della dimostrazione. Una soluzione numerica basata su questo metodo è computazionalmente costosa e può essere mal condizionata

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • J. Sylvester, Sur l’equations en matrices px = xq, C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.
  • R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation AX +XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.
  • R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation AX -XB = Y  ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.
  • S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]