Formula di Baker-Campbell-Hausdorff

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In matematica, la formula di Baker–Campbell–Hausdorff è la soluzione dell'equazione:

e^Z = e^X e^Y

per due grandezze X e Y noncommutanti (ad esempio matrici quadrate). Questa formula collega i gruppi di Lie con le algebre di Lie esprimendo il logaritmo del prodotto di due elementi del gruppo di Lie come un elemento dell'algebra di Lie in coordinate canoniche.

La soluzione coinvolge le parentesi di Lie degli elementi X e Y; la sua scrittura, interrotta al terzo ordine, è:

Z = X+Y+\frac{1}{2}[X,Y] + \frac{1}{12}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]]) + \ldots

Come si può vedere, nel caso di parentesi di Lie nulla (gruppo di Lie abeliano) la formula si riconduce alla formula consueta per l'esponenziale tra numeri; i termini successivi coinvolgono commutatori sempre più annidati.

Questa formula prende il nome da Henry Frederick Baker[1], John Edward Campbell[2] e Felix Hausdorff[3].


Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ H. Baker, Proc Lond Math Soc (1) 34 (1902) 347–360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
  2. ^ H. Poincaré, Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065–1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220–255.
  3. ^ F. Hausdorff, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • H. Baker, Proc Lond Math Soc (1) 34 (1902) 347–360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
  • (EN) Yu.A. Bakhturin, Campbell–Hausdorff formula in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • J. Campbell, Proc Lond Math Soc 28 (1897) 381–390; ibid 29 (1898) 14–32.
  • L. Corwin & F.P Greenleaf, Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
  • Eugene Borisovich Dynkin, Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula , Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 57, 1947, pp. 323–326.
  • Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
  • F. Hausdorff, "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
  • H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, World Scientific (Singapore, 2006) (also available online)
  • W. Magnus, Comm Pur Appl Math VII (1954) 649–673.
  • W. Miller, Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York, 1972, pp 159–161. ISBN 0-12-497460-0
  • H. Poincaré, Compt Rend Acad Sci Paris 128 (1899) 1065–1069; Camb Philos Trans 18 (1899) 220–255.
  • M.W. Reinsch, "A simple expression for the terms in the Baker–Campbell–Hausdorff series". Jou Math Phys, 41(4):2434–2442, (2000). DOI: 10.1063/1.533250
  • W. Rossmann, Lie Groups: An Introduction through Linear Groups. Oxford University Press, 2002.
  • A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras", Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.
  • J.-P. Serre, Lie algebras and Lie groups , Benjamin, 1965.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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