La decomposizione in frazioni parziali è un metodo per trasformare il rapporto tra due polinomi di
x
{\displaystyle x}
P
(
x
)
/
Q
(
x
)
{\displaystyle P(x)/Q(x)}
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
3
x
+
1
x
2
−
1
=
2
x
−
1
+
1
x
+
1
{\displaystyle {\frac {3x+1}{x^{2}-1}}={\frac {2}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}}
oppure
5
x
2
+
2
x
+
7
x
3
+
x
2
+
x
+
1
=
5
x
+
1
+
2
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {5x^{2}+2x+7}{x^{3}+x^{2}+x+1}}={\frac {5}{x+1}}+{\frac {2}{x^{2}+1}}}
in generale detti
q
{\displaystyle q}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
u
{\displaystyle u}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
x
{\displaystyle x}
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
k
1
x
−
q
1
+
k
2
x
−
q
2
+
k
3
x
−
q
3
+
.
.
.
+
k
u
x
−
q
u
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {k_{1}}{x-q_{1}}}+{\frac {k_{2}}{x-q_{2}}}+{\frac {k_{3}}{x-q_{3}}}+...+{\frac {k_{u}}{x-q_{u}}}}
dove i coefficienti
k
{\displaystyle k}
P
(
x
)
=
∑
n
=
1
u
∏
j
≠
n
k
n
(
x
−
q
j
)
∀
x
{\displaystyle P(x)=\sum _{n=1}^{u}\prod _{j\not =n}k_{n}\left(x-q_{j}\right)\forall x}
È particolarmente interessante notare che la somma di tutti i coefficienti di ordine 1 deve essere pari a:
lim
x
→
∞
x
P
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x{\frac {P(x)}{Q(x)}}}
La decomposizione in frazioni parziali è molto utile per ricavare alcuni integrali indefiniti . Ad esempio per trovare l'integrale indefinito di
(
x
−
3
)
/
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle (x-3)/(x^{2}-1)}
∫
x
−
3
x
2
−
1
d
x
=
∫
2
x
+
1
d
x
−
∫
1
x
−
1
d
x
{\displaystyle \int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=\int _{}{\frac {2}{x+1}}dx-\int _{}{\frac {1}{x-1}}dx}
e quindi
∫
x
−
3
x
2
−
1
d
x
=
2
ln
(
|
x
+
1
|
)
−
ln
(
|
x
−
1
|
)
+
c
{\displaystyle \int _{}{\frac {x-3}{x^{2}-1}}dx=2\ln \left(|x+1|\right)-\ln \left(|x-1\right|)+c}
1
x
2
−
1
=
A
x
−
1
+
B
x
+
1
{\displaystyle {\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {A}{x-1}}+{\dfrac {B}{x+1}}}
Notiamo che, moltiplicando tutto per
x
−
1
{\displaystyle x-1}
1
x
+
1
=
A
+
B
(
x
−
1
)
x
+
1
{\displaystyle {\dfrac {1}{x+1}}=A+{\dfrac {B(x-1)}{x+1}}}
Dal momento che
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle x}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
1
2
=
A
{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}=A}
Allo stesso modo, moltiplicando tutto per
x
+
1
{\displaystyle x+1}
1
x
−
1
=
A
(
x
+
1
)
x
−
1
+
B
{\displaystyle {\dfrac {1}{x-1}}={\dfrac {A(x+1)}{x-1}}+B}
e dunque, scelto
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
−
1
2
=
B
{\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}=B}
Quindi:
1
x
2
−
1
=
1
2
(
1
x
−
1
−
1
x
+
1
)
{\displaystyle {\dfrac {1}{x^{2}-1}}={\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {1}{x-1}}-{\dfrac {1}{x+1}}\right)}
1
x
(
x
2
+
1
)
=
A
x
+
B
x
+
C
x
2
+
1
{\displaystyle {\dfrac {1}{x\left(x^{2}+1\right)}}={\dfrac {A}{x}}+{\dfrac {Bx+C}{x^{2}+1}}}
Moltiplichiamo tutto per
x
{\displaystyle x}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
1
=
A
{\displaystyle 1=A}
Allo stesso modo, moltiplichiamo tutto per
x
2
+
1
x
{\displaystyle {\dfrac {x^{2}+1}{x}}}
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
B
=
−
lim
x
→
+
∞
(
A
x
2
+
1
x
2
+
C
x
−
1
x
2
)
=
−
1
{\displaystyle B=-\lim _{x\to +\infty }{\left(A{\dfrac {x^{2}+1}{x^{2}}}+{\frac {C}{x}}-{\dfrac {1}{x^{2}}}\right)}=-1}
avendo usato il fatto che
A
=
1
{\displaystyle A=1}
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
C
=
−
lim
x
→
+
∞
(
A
x
2
+
1
x
+
B
x
−
1
x
)
=
0
{\displaystyle C=-\lim _{x\to +\infty }{\left(A{\dfrac {x^{2}+1}{x}}+{B}{x}-{\frac {1}{x}}\right)}=0}
avendo usato il fatto che
A
=
1
,
B
=
−
1
{\displaystyle A=1,\ B=-1}
1
x
(
x
2
+
1
)
=
1
x
−
x
x
2
+
1
{\displaystyle {\dfrac {1}{x\left(x^{2}+1\right)}}={\dfrac {1}{x}}-{\dfrac {x}{x^{2}+1}}}
