Costante di Landau-Ramanujan

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Costante di Landau-Ramanujan
Simbolo K
Valore 0,764223653589220662990698731...
(sequenza A064533 dell'OEIS)
Origine del nome Edmund Landau e Srinivasa Ramanujan
Frazione continua [0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, ...]
(sequenza A125776 dell'OEIS)
Campo numeri reali

In matematica, la costante Landau-Ramanujan K è una costante che si presenta nella teoria dei numeri. K rappresenta la costante di proporzionalità tra il numero di interi positivi minori di x che sono la somma di due quadrati perfetti e

 \frac{x}{\sqrt{\ln(x)}}

per x che tende a infinito; in altre parole, se N(x) è il numero di interi positivi minori di x somma di due quadrati perfetti, allora

K = \lim_{x\to\infty} \frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x} = 0,76422365358922066299069873125...

Prende il nome di Edmund Landau che ne dimostro l'enunciato nel 1908, mentre prende il nome di Srinivasa Ramanujan perché fu quello che la enunciò nel 1906, non riuscendo però a dimostrarla. La convergenza del limite alla costante K è tuttavia molto lenta:

x N(x) N(x)\frac{\sqrt{\ln(x)}}{x}
10 7 1,0622
102 43 0,922765
103 330 0,867326
104 2749 0,834281
105 24028 0,815287
106 216341 0,804123

Una formula, trovata da Flajolet and Vardi nel 1996, che converge più velocemente a K è

K=\frac{1}{\sqrt{2}}\prod_{n=1}^\infty\left[\left(1-\frac{1}{2^{2^n}}\right)\frac{\zeta(2^n)}{\beta(2^n)}\right]^{\frac{1}{2^{n+1}}}

dove \zeta(n) è la funzione zeta di Riemann e \beta(n) è la funzione beta di Dirichlet.

Una formula esatta per K è

K=\frac{1}{\sqrt{2}}\prod\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-\frac{1}{2}}

dove la produttoria è presa tra tutti i numeri primi p congrui a 3 modulo 4.


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