Condizione di Courant-Friedrichs-Lewy

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In fluidodinamica numerica, la condizione di Courant-Friedrichs-Lewy, spesso abbreviata con CFL ed il cui nome è dovuto a Richard Courant, Kurt Friedrichs e Hans Lewy, è una condizione necessaria per la convergenza numerica della soluzione di alcune equazioni alle derivate parziali (solitamente equazioni di tipo iperbolico) ricavata nel 1928.[1][2]

Questa condizione è sfruttata nell'impiego di schemi numerici espliciti temporali. Come conseguenza, il passo temporale deve essere più piccolo di un certo intervallo di tempo, altrimenti la simulazione produrrà risultati ampiamente scorretti. Per esempio, se un'onda attraversa una griglia di calcolo discreta, allora l'intervallo temporale deve essere più piccolo del tempo necessario all'onda per attraversare due punti adiacenti della griglia. Come corollario, se la distanza tra due punti adiacenti della griglia viene ridotta, il limite superiore dell'intervallo temporale sarà anch'esso diminuito. In sostanza, il dominio numerico (o discreto) di dipendenza deve includere il dominio analitico (o continuo) di dipendenza per poter assicurare che lo schema possa trovare l'informazione necessaria per creare la soluzione.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

La condizione CFL è comunemente imposta per quei termini delle equazioni alle derivate parziali che rappresentano la convezione ( o meglio nei termini advettivi). Per un caso unidimensionale la condizione CFL è scritta come:

\frac {u \cdot \Delta\,t} {\Delta\,x} < C

dove u rappresenta la velocità, \Delta\,t è l'intervallo temporale e \Delta\,x è l'intervallo spaziale. La costante Ct dipende inoltre dalla particolare equazione che deve essere risolta. Il numero:

\nu = \frac {u \cdot \Delta\,t} {\Delta\,x}

è chiamato numero di Courant.

In un caso bidimensionale questo può scriversi come:[3]

\frac {u_ x \cdot \Delta\,t} {\Delta\,x} + \frac {u_ y \cdot \Delta\,t} {\Delta\,y} < C

La condizione CFL può diventare un grosso limite per il passo temporale \Delta\,t a causa del fatto che per certe equazioni alle derivate parziale del quarto ordine non lineari può diventare nella forma:

\frac{\Delta t}{\Delta x^4} < C

e per questo motivo ci si sforza, in questi casi, di evitare questa condizione usando metodi numerici impliciti.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (DE) R. Courant, K. Friedrichs e H. Lewy, Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Mathematische Annalen, vol. 100, n. 1, pagg. 32–74, 1928.
  2. ^ (EN) R. Courant, K. Friedrichs e H. Lewy, On the partial difference equations of mathematical physics, IBM Journal, marzo 1967, pagg. 215-234, traduzione in inglese dell'originale tedesco del 1928 che è possibile scaricare qui
  3. ^ http://lcd-www.colorado.edu/~zuev/R/STUFF_2002/JULIA/courant.pdf

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (DE) R. Courant, K.O. Friedrichs, H. Lewy, Ueber die partiellen Differenzgleichungen der mathematische Physik Math Ann. , 100 (1928) pp. 32–74
  • (EN) S.K. Godunov, V.S. Ryaben'kii, The theory of difference schemes , North-Holland (1964)
  • (EN) Courant, R.; Friedrichs, K.; and Lewy, H. On the Partial Difference Equations of Mathematical Physics. IBM J. 11, 215-234, 1967.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]