Chiusura (matematica)

In matematica, la chiusura di un insieme è in generale il più piccolo oggetto che contemporaneamente contiene quello iniziale e soddisfa una data proprietà.

Topologia

In topologia, la chiusura di un insieme S è in parole povere l'insieme di tutti i punti di aderenza per S. La chiusura di S è talvolta definita come l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono S, o come il più piccolo insieme chiuso contenente S.

Relazioni binarie

Consideriamo un insieme di proprietà $P$ di cui le relazioni binarie possono godere e sia $R\subseteq A\times A$ una relazione binaria su $A$.
Chiamiamo chiusura di $R$ rispetto a $P$ o $P-chiusura$ di $R$ una relazione $M\subseteq A\times A$ tale che:

1. $R\subseteq M$;
2. $M$ soddisfa tutte le proprietà contenute in $P$;
3. se $T\subseteq A\times A$ è una relazione che soddisfa tutte le proprietà contenute in $P$ e che contiene $R$, allora deve valere che $M\subseteq T$.

Questo significa che se esiste la relazione $M$ essa è la minima relazione che contiene $R$ e possiede tutte le proprietà contenute in $P$.

Operazioni

Il termine chiusura si incontra anche lavorando con gli insiemi numerici e le usuali operazioni. In breve, si può dire che un insieme è chiuso rispetto ad un'operazione se comunque si prendono due elementi di quell'insieme e si esegue l'operazione stabilita, il risultato di tale operazione appartiene ancora all'insieme stesso; insomma, eseguendo l'operazione non si esce dall'insieme.

Ad esempio, detto $\mathbb {N}$ l'insieme dei numeri naturali, si nota che è chiuso rispetto all'operazione di addizione; infatti $\forall n,m\in \mathbb {N} .(n+m)\in \mathbb {N}$.

Bibliografia

• Alessandra Cherubini, Stefania Adami, Luca Mauri, Claudia Nuccio, Achille Frigeri, Appunti di Logica e Algebra con esercizi, Maggioli Editore, 2014, ISBN 978-88-916-0076-9.