Arcotangente2

In trigonometria la funzione a due argomenti atan2 rappresenta una variazione dell'arcotangente. Comunque presi gli argomenti reali x e y non nulli, atan2(y,x) indica l'angolo in radianti tra l'asse positivo delle X in un piano e un punto di coordinate $(x,y)$ giacente su di esso. L'angolo è positivo se antiorario (upper half-plane, y>0) e negativo se in verso orario (lower half-plane, y < 0).

Questa funzione quindi restituisce un valore compreso nell'intervallo $(-\pi, \pi)$. La funzione è definita per tutte le coppie di valori reali $(x, y)$ eccetto la coppia $(0, 0)$.

Definizione

Data una coppia $\left(y,x\right) \in \mathbb{R}^2$ con $\left(y, x\right) \ne \left(0,0\right)$

si definisce arcotangente2 della coppia $\left(y,x\right)$ l'angolo $-\pi < \theta \le \pi$ che soddisfa alle condizioni:

$\left\{\begin{matrix} \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{matrix}\right.$

ovvero:

$(1) \qquad \theta = \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arccos \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & \qquad y \geq 0 \\ -\arccos \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & \qquad y < 0 \\ \end{cases}$

Notazione

La notazione matematica dell'arcotangente2 è arctan2 o arctg2. Nei linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici è molto diffusa anche la notazione atan2.

Proprietà

La funzione è un'estensione della funzione arcotangente $arctan \left(\frac{y}{x}\right)$ in quanto, a differenza di essa, è in grado di distinguere tra angoli diametralmente opposti, tenendo conto non solo del rapporto tra gli argomenti ma anche del loro segno. Infatti, la funzione arcotangente ritorna lo stesso valore per le coppie (x,y) e (-x,-y) così come per le coppie (x,-y) e (-x,y), determinando quindi solo l'ampiezza dell'angolo rispetto all'asse X ma non il suo effettivo posizionamento rispetto ai quadranti degli assi cartesiani.

Un altro aspetto importante della funzione arcotangente2 è che essa, a differenza della funzione semplice $arctan \left(\frac{y}{x}\right)$, è definita anche nel caso $x=0$.

Infatti, dalla definizione $(1)$ di cui sopra, si ottiene:

$\operatorname{atan2}(y, 0)=\begin{cases} \arccos(0)=\frac{\pi}{2}, & \mbox {se }y > 0 \\ -\arccos(0)=-\frac{\pi}{2}, & \mbox{se }y < 0 \end{cases}$

da cui si ricava che $arctan2\left(y,0\right)$ esprime l'angolo retto orientato rispetto all'asse $X$.

Voci correlate

• Arcotangente

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