Isomorfismo musicale

L'isomorfismo musicale è un isomorfismo tra uno spazio vettoriale reale $V$ e il suo spazio duale $V^{*}$, che è indotto da una forma bilineare simmetrica non degenere. Più in generale, si tratta di un isomorfismo tra il fibrato tangente $T(M)$ di una varietà riemmaniana $(M,g)$ e il suo fibrato cotangente $T^{*}(M)$, che indotto dalla metrica $g$.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. È noto che $V$ e il suo duale $V^{*}$ sebbene abbiano la stessa dimensione non sono canonicamente isomorfi. Tuttavia fissata una forma bilineare simmetrica non degenere $g(\cdot ,\cdot )$ su $V$, si verifica che la mappa

$V\to V^{*}:v\mapsto g(v,\cdot )$

è un isomorfismo di spazio vettoriali, che è detto isomorfismo musicale ed è indicato con il simbolo di bemolle $\flat$. Il suo inverso, che è un isomorfismo $V^{*}\to V$, è invece denotato con il simbolo di diesis $\#$.

Origine del nome

L'origine del nome isomorfismo "musicale" si comprende scrivendo i vettori in componenti. Sia $e_{1},\ldots ,e_{n}$ una base di $V$ e sia $e^{1},\ldots ,e^{n}$ la corrispondente base duale di $V^{*}$, cioè vale $e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}$, dove $\delta _{j}^{i}$ è la delta di Kronecker. Siano poi $g_{ij}$ la componenti della forma bilineare $g(\cdot ,\cdot )$ rispetto alla base $e^{i}\otimes e^{j}$, ovvero $g=g_{ij}e^{i}\otimes e^{j}$, dove si è usata la convezione di Einstein per le somme su indici ripetuti. Allora per un generico vettore $v=v^{i}e_{i}\in V$ le componenti $v_{i}$ di $v^{\flat }$, cioè gli scalari che soddisfano $v^{\flat }=v_{i}e^{i}$, sono date da $v_{i}=v^{j}g_{ij}$. Quest'ultima operazione "abbassa gli indici" analogamente a come il bemolle abbassa il tono delle note musicali. Similmente la relazione $v^{i}=v_{j}g^{ij}$, dove $g^{ij}$ sono le componenti della matrice inversa della matrice di componenti $g_{ij}$, permette di "alzare gli indici", come il $\#$ alza il tono delle note musicali.

Bibliografia

• (EN) Pedro Martinez Gadea, Jaime Muänoz Masquâe, Analysis and Algebra on Differential Manifolds, Springer, 2009, ISBN 9048135648.

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