Teorema del confronto di Sturm-Picone

In matematica, nel campo delle equazioni differenziali ordinarie, il Teorema del confronto di Sturm–Picone, che prende nome da Jacques Sturm e Mauro Picone, è un noto teorema che permette di ricavare informazioni sul comportamento delle soluzioni di certe equazioni differenziali lineari confrontandole con le soluzioni di equazioni simili.

Teorema del confronto di Sturm–Picone

Sia $p_{i},\,q_{i},\,$ i = 1, 2, una funzione continua a valori reali, definita nell'intervallo [a, b] e siano

1. $(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0\,$
2. $(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0\,$

due equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta con

$0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)\,$

e

$q_{1}(x)\leq q_{2}(x).\,$

Sia u una soluzione non-banale di (1) con due radici successive in z₁ e z₂. sia, inoltre, v una soluzione non-banale di (2). Allora vale una delle seguenti proprietà:.

• Esiste una x in [z₁, z₂] tale che v(x) = 0;

o

• Esiste un λ in R tale che v(x) = λ u(x).

NOTA: La prima parte della tesi venne dimostrata da Sturm, nel 1836. L'enunciato completo è dovuto a Picone (1910), la cui semplice dimostrazione si basa sull'utilizzo dell'Identità di Picone. Nel caso particolare in cui le due equazioni siano identiche si ottiene il Teorema di separazione di Sturm. Il teorema è stato poi esteso a sistemi di equazioni ordinarie e a equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.

Bibliografia

• Diaz, J. B.; McLaughlin, Joyce R. Sturm comparison theorems for ordinary and partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335–339 pdf
• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 79, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
• Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2011.