Identità di Picone

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In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.

L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga che u e v siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:

(p_1(x) u')' + q_1(x) u = 0

e:

(p_2(x) v')' + q_2(x) v = 0

Allora, per ogni x tale che v(x) \ne 0, vale la seguente identità:

\left(\frac{u}{v}(p_1 u' v - p_2 u v')\right)' = \left(q_2 - q_1\right) u^2 + \left(p_1 - p_2\right)u'^2 + p_2\left(u'-v'\frac{u}{v}\right)^2

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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