Identità di Picone

In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.

L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.

Enunciato

Supponiamo che u e v siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:

$(p_1(x) u')' + q_1(x) u = 0 \,$

e

$(p_2(x) v')' + q_2(x) v = 0.$

Allora, per ogni x tale che v(x) ≠ 0, vale la seguente identità

$\left(\frac{u}{v}(p_1 u' v - p_2 u v')\right)' = \left(q_2 - q_1\right) u^2 + \left(p_1 - p_2\right)u'^2 + p_2\left(u'-v'\frac{u}{v}\right)^2.$

Bibliografia

• Picone, Mauro (1910). Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 11: 1–141.

• Swanson, Charles A. (1975). Picone's Identity. Rendiconti di Matematica 8 (2): 373-397.

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