Matrice CKM

Nel Modello standard della fisica delle particelle, la matrice Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (matrice CKM) è una matrice unitaria che contiene informazioni sui decadimenti deboli con cambiamento di sapore. Tecnicamente specifica l'accoppiamento non adatto degli stati quantici dei quark, quando questi si propagano liberamente e quando sono coinvolti nelle interazioni deboli. Essa è importante nella comprensione delle violazioni della simmetria CP.

Questa matrice è la generalizzazione a tre generazioni di quark della matrice introdotta precedentemente da Nicola Cabibbo, relativa a due sole generazioni. I fisici giapponesi Makoto Kobayashi e Toshihide Maskawa, che proposero la generalizzazione, vinsero il Premio Nobel per la fisica nel 2008.

La matrice

Matrice di Cabibbo

L'angolo di Cabibbo rappresenta la rotazione degli autostati di massa $\scriptstyle {|d\rangle ,\ |s\rangle }$ negli autostati deboli $\scriptstyle {|d^{\prime }\rangle ,\ |s^{\prime }\rangle }$. θ_C = 13.02°.

Nel 1963, Nicola Cabibbo introdusse l'angolo di Cabibbo (θ_c) per preservare l'universalità dell'interazione debole. Cabibbo fu ispirato da precedenti lavori di Murray Gell-Mann e Maurice Lévy, sulle correnti deboli vettoriali e assiali, cui fa riferimento.

Alla luce della conoscenza del tempo (non vi era ancora una teoria dei quark), l'angolo di Cabibbo è legato alla probabilità relativa che i quark down e strange decadano in quark up (rispettivamente |V_ud|² e |V_us|²). Nel gergo della fisica delle particelle, l'oggetto che si accoppia al quark up tramite interazione di corrente carica è una sovrapposizione di quark di tipo down, qui indicato con d′. Matematicamente è dato da:

$d^{\prime }=V_{ud}d+V_{us}s,$

o usando l'angolo di Cabibbo:

$d^{\prime }=\cos \theta _{\mathrm {c} }d+\sin \theta _{\mathrm {c} }s.$

Usando i valori attualmente accettati per |V_ud| e |V_us|, l'angolo di Cabibbo può essere calcolato, nel seguente modo:

$\tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {|V_{us}|}{|V_{ud}|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\Rightarrow \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }.$

Quando nel 1974 si scoprì il quark charm, si notò che i quarl down e strange potessero decadere nell'up o nel charm, portando a due insiemi di equazioni:

$d^{\prime }=V_{ud}d+V_{us}s;$

$s^{\prime }=V_{cd}d+V_{cs}s,$

o, usando l'angolo di Cabibbo:

$d^{\prime }=\cos {\theta _{\mathrm {c} }}d+\sin {\theta _{\mathrm {c} }}s;$

$s^{\prime }=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}d+\cos {\theta _{\mathrm {c} }}s.$

Queste equazioni possono essere in forma matriciale come:

${\begin{bmatrix}d^{\prime }\\s^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}},$

o, ancora usando l'angolo di Cabibbo

${\begin{bmatrix}d^{\prime }\\s^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}},$

dove i $|V_{ij}|^{2}$ rappresentano la probabilità che il quark di sapore j decada in un quark di sapore i. Questa matrice 2 × 2 è chiamata matrice di Cabibbo.

Matrice CKM

Kobayashi e Maskawa generalizzarono la matrice di Cabibbo, arrivando alla matrice CKM:

${\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}$

che agisce su un'autostato dell'interazione forte dei quark dando un'autostato dell'interazione debole dei quark, nel modo seguente:

${\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left|d\right\rangle \\\left|s\right\rangle \\\left|b\right\rangle \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\left|d'\right\rangle \\\left|s'\right\rangle \\\left|b'\right\rangle \end{bmatrix}}$

Sperimentalmente, le grandezze dei valori nella matrice sono apparentemente grossolane:

${\begin{bmatrix}0{,}97383_{-0,00023}^{+0,00024}&0{,}2272_{-0,0010}^{+0,0010}&(3{,}96_{-0,09}^{+0,09})\times 10^{-3}\\0{,}2271_{-0,0010}^{+0,0010}&0{,}97296_{-0,00024}^{+0,00024}&(42{,}21_{-0,80}^{+0,10})\times 10^{-3}\\(8{,}14_{-0,64}^{+0,32})\times 10^{-3}&(41{,}61_{-0,78}^{+0,12})\times 10^{-3}&0{,}999100_{-0,000004}^{+0,000034}\end{bmatrix}}$

Calcoli

Per procedere ulteriormente bisogna calcolare il numero di parametri di questa matrice V. Se ci sono N generazioni di quark (cioè 2N sapori) allora:

1. Una matrice complessa N×N contiene 2N² numeri reali, cioè 2 per ogni dato.
2. Il vincolo dell'unitarietà è ∑_k V_ikV^*_jk = δ_ij. Pertanto per i termini per la diagonale (i=j) vi sono N vincoli e per i rimanenti termini N(N-1). Il numero di numeri reali indipendenti in una matrice unitaria e dunque N².
3. Una fase può essere assorbita in ciascun campo quantico. Una fase generale comune non è osservabile. Quindi vi sono 2N-1 numeri indipendenti in meno dando un numero totale di variabili libere di (N-1)².
4. Di questi, N(N-1)/2 sono angoli di rotazione detti angoli di mescolamento dei quark.
5. I rimanenti (N-1)(N-2)/2 sono fasi complesse che sono responsabili della violazione di CP.

Osservazioni e previsioni

L'idea di Cabibbo era nata dalla necessità di spiegare due fenomeni:

1. le transizioni u↔d e e↔ν_e, μ↔ν_μ hanno simili estensioni.
2. le transizioni con variazioni della stranezza ΔS=1 hanno estensioni uguali a 1/4 di quelle con ΔS=0.

La soluzione di Cabibbo fu di postulare debole universalità per risolvere il primo problema, insieme con un angolo misto θ_c, attualmente chiamato angolo di Cabibbo, tra i quark d e s per risolvere il secondo problema.

Per due generazioni di quark non vi sono fasi di violazione CP, come mostrato precedentemente. Poiché le violazioni CP sono state viste nei decadimenti del kaone neutro fin dal 1964, l'immediata successiva comparsa del Modello standard fu un chiaro segno dell'esistenza di una terza generazione di quark, come puntualizzato da Kobayashi e Maskawa. La scoperta del quark bottom presso il Fermilab (per opera del gruppo di Leon Max Lederman) nel 1976, diede immediato inizio alla ricerca del quark mancante di terza generazione, il quark top.

Universalità debole

Il vincolo dell'unitarietà della matrice CKM sui termini diagonali può essere scritta come

$\sum _{j}{\left|{V_{ij}}\right|^{2}}=1$

per tutte le generazioni i. Questo implica che la somma di tutti gli accoppiamenti di qualsiasi quark di tipo up con i quark di tipo down è la stessa per tutte le generazioni. Questa relazione fu chiamata universalità delle interazioni deboli da Nicola Cabibbo, che per primo la segnalò nel 1967. Dal punto di vista teorico essa è una conseguenza del fatto che tutte le coppie SU(2) si accoppiano con la stessa forza ai bosoni vettori delle interazioni deboli. Essa è stata oggetto di ripetute verifiche sperimentali.

I triangoli di unitarietà

I vincoli di unitarietà restanti della matrice CKM possono essere scritti così

$\sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0$

Per ogni i e j stabile, questo è un vincolo su tre numeri complessi, uno per ciascun k, che dicono che questi numeri costituiscono i vertici di un triangolo in un piano complesso. Vi sono sei possibilità di i e j e quindi sei triangoli, ciascuno dei quali è chiamato triangolo unitario (unitary triangle). La loro forma può essere molto differente ma hanno la stessa area che può essere messa in relazione con la fase di violazione CP. L'orientamento dei triangoli dipende dalle fasi dei campi dei quark.

Poiché i tre lati dei triangoli sono suscettibili di verifica diretta, al pari dei tre angoli, una serie di test del Modello standard è rivolta all'accertamento della chiusura del triangolo. Questo è lo scopo di una serie recente di esperimenti in corso in Giappone (esperimento Belle) e in California (esperimento BaBar).