Utente:Pokipsy76/sandbox

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Pokipsy76 (msg) 14:06, 28 apr 2008 (CEST)

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Abbozzi di articoli da inserire

Modello in logica

In logica matematica un modello per un linguaggio del primo ordine è intuitivamente un attribuzione di un significato a tutte le formule del linguaggio. Più precisamente un modello è individuato da:

• un insieme di riferimento U (l' universo del discorso) a cui appartengono gli "oggetti" di cui si sta parlando (denotati dalle costanti individuali) e in cui spaziano le variabili dei quantificatori;
• un insieme di elementi di U da associare a ciascuna costante individuale del linguaggio;
• per ogni n un insieme di funzioni da $U^{n}$ in sè stesso da associare a ciascun simbolo di funzione n-aria del linguaggio;
• per ogni n un insieme di relazioni n-aria su $U$ da associare a ciascun simbolo di relazione n-aria del linguaggio;

Significato dei termini

Un modello consente di attribuire un "significato" all'insieme dei termini di un linguaggio del primo ordine che siano privi di variabili.

Verità in un modello

Un modello consente di attribuire un valore di verità alle formule ben formate chiuse (cioè prive di variabili libere di un linguaggio del primo ordine nel seguente modo:

• Se ${\mathcal {A}}$ è una formula atomica, poichè non ha variabili libere sarà del tipo $A(t_{1},t_{2},...,t_{n})$ dove $t_{1},...,t_{n}$ sono termini privi di variabili, allora a ciascuno di essi il modello attribuisce univocamente un elemento dell'insieme U, diremo quindi che la fbf è vera nel modello se la relazione $A^{U}$ è valida, nel modello, sugli elementi $t_{1}^{U},...,t_{n}^{U}$.

• Se ${\mathcal {A}}$ è del tipo ${\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}$ allora...

• Se ${\mathcal {A}}$ è del tipo $\forall xA(x)$ diremo che è vera se la

Esempio di serie telescopica

$\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)$

$={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)$

$={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).$

Paradosso delle due buste rivisitato

Consideriamo il seguente gioco tra due o più giocatori:

• scopo del gioco è ottenere più punti di tutti gli avversari
• ogni giocatore può ottenere punti con il seguente sistema:

* si considera una distribuzione di probabilità sui numeri interi positivi per cui $P(n)=q(1-q)^{n}$.

* si estrae un numero $n$ a caso in base a tale distribuzione.

* si dispongono due biglietti da $2^{n}$ e $2^{n+1}$ punti in due buste chiuse

* si da una copia esatta di queste due buste a tutti i giocatori

* ogni giocatore sceglie la sua busta e può guardarne il contenuto per decidere se cambiarla o tenerla

Consideriamo la seguente classe di strategie:

"Strategia $L$": se nella busta che apro ci sono meno di $2^{L}$ punti la cambio. Altrimenti tengo quella che ho.

Qual'è la differenza attesa tra i punteggi ottenuti da due giocatori che usano la "Strategia $L$" e la "Strategia $L'$" se L'>L?

Ecco il calcolo:

Se nella busta aperta c'è $2^{n}$ con $n<L$ o con $n>L'$ la differenza trai due guadagni è nulla. Rimane da esaminare i casi in cui $L\leq n\leq L'$. In questo caso chi usa la strategia L non cambia, chi usa la strategia L cambia. La differenza attesa tra i guadagni ottenuti condizionata al fatto di aver trovato $2^{n}$ è data da

$\mathbb {E} (G_{L}-G_{L'}|2^{n})=2^{n}-(2^{n+1}P(n|2^{n})+2^{n-1}P(n-1|2^{n}))$

Dove $P(n|2^{n})={\frac {P(2^{n}\land n)}{P(2^{n})}}={\frac {{\frac {1}{2}}P(n)}{{\frac {1}{2}}P(n)+{\frac {1}{2}}P(n-1)}}={\frac {{\frac {1}{2}}q(1-q)^{n}}{{\frac {1}{2}}(q(1-q)^{n}+q(1-q)^{n-1})}}={\frac {1-q}{2-q}}$

$P(n-1|2^{n})={\frac {P(2^{n}\land n-1)}{P(2^{n})}}={\frac {{\frac {1}{2}}P(n-1)}{{\frac {1}{2}}P(n)+{\frac {1}{2}}P(n-1)}}={\frac {{\frac {1}{2}}q(1-q)^{n-1}}{{\frac {1}{2}}(q(1-q)^{n}+q(1-q)^{n-1})}}={\frac {1}{2-q}}$

svolgendo quindi i calcoli si ottiene che

$\mathbb {E} (G_{L}-G_{L'}|2^{n})=2-{\frac {5-4q}{2-q}}$

che è maggiore di zero se $q>{\frac {1}{2}}$.

Questo significa che se la distribuzione iniziale di probabilità è stata scelta con $q>{\frac {1}{2}}$ allora qualunque cifra $2^{n}$ sia stata trovata nella prima busta in media il guadagno di chi usa la strategia L' sarà maggiore di quello di chi usa la strategia L.

Da questo fatto possiamo dedurre che l'aspettazione della differenza tra i due guadagni è positiva visto che

$E(G_{L}-G_{L'})=\sum _{n}E(G_{L}-G_{L'}|2^{n})P(2^{n})$

ed abbiamo tutti i termini della somma che sono nulli tranne un numero finito che sono positivi.

Quindi a priori la strategia L' è migliore della strategia L. Questo comporta che se ogni giocatore sceglie una strategia L per qualche L è favorito il giocatore che ha scelto il valore più grande di L. Allora verrebbe da pensare che un buon metodo per essere favoriti non è scegliere un valore di L ma cambiare comunque busta: in questo modo infatti ci comportiamo come un giocatore che ha scelto una strategia L' più grande di ogni altro giocatore che adotti la strategia L. Ma se si riflette meglio questa conclusione è palesemente assurda: questo significa che ci conviene cambiare a priori senza neppure guardare il contenuto della busta! Come si spiega?

Linguaggio del primo ordine

In logica matematica il linguaggio dell'aritmetica del primo ordine è un linguaggio del primo ordine con cui è possibile sviluppare teorie formali dell'aritmetica elementare.

Esso è costituito dai seguenti simboli:

• simboli per variabili: $x$, $y$, $z$, $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, ...
• costanti individuali: $0$
• simboli per funzioni unarie: $S$
• simboli per funzioni binarie: $+$, $\times$
• simboli per relazioni binarie: $=$
• simboli per connettivi logici, quantificatori e parentesi

Per indicare la funzione binaria $+$ calcolata sui termini $t_{1}$ e $t_{2}$ anzichè scrivere $+(t_{1},t_{2})$ si è soliti scrivere $t_{1}+t_{2}$. Una convenzione analoga vale per la funzione binaria $\times$.

Modello standard

Il modello standard dell'aritmetica è quello che si ha interpretando il simbolo 0 con il numero zero, il termine S(0) con il successore di 0, quindi 1, S(S(0)) con il numero 2 e così via, e i simboli di addizione e moltiplicazione come addizione e moltiplicazione classici.

Esprimibilità

Nel linguaggio dell'aritmetica del primo ordine non ci sono simboli per indicare insiemi di numeri naturali, tuttavia un insieme può essere individuato con una formula aperta che interpretata nel modello standard esprima la condizione necessaria e sufficiente che deve soddisfare un numero naturale per appartenere a quell'insieme. Ad esempio l'insieme dei numeri pari può essere espresso dalla proprietà "x è un multiplo di 2" che corrisponde alla fbf:

$\varphi (x):=\exists y(x=y\times S(S(0)))$

che interpretata nel modello standard afferma che x è tale che esiste un altro numero y che moltiplicato per 2 (S(S(0))) da come risultato x.

Indichiamo con $S^{n}(0)$ il termine $S(S(S(...(((0)))...)))$ in cui il simbolo $S$ compare $n$ volte.

Diremo che una formula aperta φ(x) esprime un insieme di numeri naturali $U$ (o equivalentemente una proprietà) se si ha

• se $n\in U$ allora $\varphi (S^{n}(0))$ è vera nel modello standard
• se $n\notin U$ allora $\neg \varphi (S^{n}(0))$ è vera nel modello standard

Diremo quindi che un insieme (o una proiprietà) è esprimibile nel linguaggio dell'aritmetica se esiste una formula aperta φ(x) che lo esprime.

La nozione di esprimibilità si può generalizzare a sottoinsiemi di N^k, in tal caso per esprimere un insieme sarà necessaria una formula aperta con k variabili libere φ(x₁,x₂,... ,x_k).

Osserviamo che non tutti i sottoinsiemi dell' insieme N dei numeri naturali o di N^k sono esprimibili dal momento che la totalità dei sottoinsiemi di N (o di N^k) ha la cardinalità del continuo mentre l'insieme delle formule è numerabile.

=Esprimere funzioni

Diremo che una funzione

$f:\mathbb {N} ^{k}\to \mathbb {N}$

è esprimibile nel linguaggio dell'aritmetica quando è esprimibile il suo grafico, ovvero l'insieme:

$\{(x_{1},...,x_{k},y)\in \mathbb {N} ^{k+1}:y=f(x_{1},...,x_{k})\}$.

Funzioni che si possono esprimere facilmente sono quelle per cui disponiamo di simboli appositi:

• la funzione successore, espressa dalla formula

$y=S(x)$

• l'addizione, che si può esprimere con

$y=x_{1}+x_{2}$

• la moltiplicazione, che si esprime con

$y=x_{1}\times x_{2}$.

Meno banale è capire se si possono esprimere altre funzioni come la sottrazione o la potenza. Di fatto si può dimostrare che tutte le funzioni ricorsive sono esprimibili nel linguaggio dell'aritmetica. In particolare lo è anche la potenza: questo significa che aggiungere al linguaggio dei simboli di operazione binaria per le potenze non avrebbe accresciuto la sua capacità espressiva. Viceversa se avessimo rinunciato al simbolo di addizone o di moltiplicazione non ci sarebbe stato modo di esprimerlo mediante gli altri simboli.

Nel linguaggio dell'aritmetica è facile formalizzare un'espressione come 1+(2×2)=5, sarà sufficiente scrivere

$S(0)+(S(S(0))\times S(S(0)))=S(S(S(S(S(0)))))$

ma se abbiamo a che fare con delle sottrazioni o degli esponenti la formalizzazione non è immediata

Indichiamo con $S^{n}(0)$ il termine $S(S(S(...(((0)))...)))$ in cui il simbolo $S$ compare $n$ volte.

Un insieme di numeri naturali $U$ si dice esprimibile nel linguaggio dell'aritmetica del primo ordine se esiste una formula φ del linguaggio dell'aritmetica tale che

• se $n\in U$ allora $\varphi (S^{n}(0))$ è vera nel modello standard
• se $n\notin U$ allora $\neg \varphi (S^{n}(0))$ è vera nel modello standard

Una funzione

$f:\mathbb {N} ^{k}\to \mathbb {N}$

è esprimibile nel linguaggio dell'aritmetica se esiste una formula φ tale che:

Generalizzazioni

La generalizzazione

Rappresentabilità (logica matematica)

Il concetto di rappresentabilità di una funzione o di un predicato è relativo alle teorie formali dell'aritmetica, ovvero alle teorie del primo ordine che hanno come linguaggio il linguaggio dell'aritmetica del primo ordine e che ammettono come modello la struttura dei numeri naturali. Esempi di tali teorie sono l'aritmetica di Peano e l'aritmetica di Robinson.

L'idea di un insieme rappresentabile da una teoria aritmetica T è quella di un insieme per il quale

• esiste una fbf che lo esprime
• dato un qualunque numero è possibile "farsi dire" dalla teoria T se questo appartiene o no all'insieme.

Un discorso analogo vale per le funzioni rappresentabili.

Definizioni

Ricordiamo che in una teoria aritmetica T esistono dei linguaggio del primo ordine#termini "standard" per denotare i numeri naturali chiamati numerali:

0 denota il numero zero

S(0) denota il numero 1

S(S(0)) denota il numero 2

...e così via...

Se indichiamo con Sⁿ(0) il termine S(S(S(...(((0)))...))) in cui il simbolo S compare n volte possiamo dire che Sⁿ(0) è il numerale del numero n.

Consideriamo un sottoinsieme $U$ dell'insieme N dei numeri naturali. Diremo che $U$ è rappresentabile in T se

• esiste una fbf φ(x) con una variabile libera che lo esprime;
• per ogni numero naturale $n$ si ha
  • se $n\in U$ allora φ(Sⁿ(0)) è dimostrabile in T
  • se $n\notin U$ allora $\neg$φ(Sⁿ(0)) è dimostrabile in T

La nozione di rappresentabilità si può estendere anche a sottoinsiemi di N^k e quindi a relazioni a k argomenti. In tal caso la formula che le rappresenta dovrà avere k variabili libere.

Rappresentare funzioni

Per una funzione

$f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$

ci sono due nozioni di rappresentabilità: f si dice debolmente rappresentabile nella teoria aritmetica T se

• esiste una fbf φ(y,x) con 2 variabili libere che la esprime;
• per ogni numero naturale $n$ si ha
  • se $n=f(m)$ allora φ(Sⁿ(0),S^m(0)) è dimostrabile in T
  • se $n\neq f(m)$ allora $\neg$φ(Sⁿ(0),S^m(0)) è dimostrabile in T.

Se assieme alle condizioni precedenti si ha anche che

• per ogni numero m $\exists y(\varphi (y,S^{m}(0))\land \forall z(\varphi (y,S^{m}(0))\to (z=y)))$ è dimostrabile in T,

allora f si dice fortemente rappresentabile in T o rappresentabile come funzione.

Le nozioni di rappresentabilità appena esposte si generalizzano facilmente a funzioni definite su N^k anzichè su N.

Per fissare le idee consideriamo il linguaggio dell'aritmetica del primo ordine.

Un esempio è dato dall'aritmetica di Peano in cui il numero naturale 0 è rappresentato dal termine 0, il numero 1 dal termine S(0), il 2 da S(S(0)) e così via. Il termine che in una teoria designa il numero naturale n viene chiamato anche numerale di n.

L' esprimibilità di una funzione una teoria è un concetto "semantico": indica l'esistenza di una formula nel linguaggio della teoria in grado di catturarne il suo

la rappresentabilità una funzione o di un predicato in una teoria formale corisponde al fatto di poter "calcolare" qualunque valore della funzione mediante la teoria mediante una formula della teoria

Nelle teorie matematiche

L'idea di rappresentare delle funzioni

Una funzione

$f:\mathbb {N} ^{k}\to \mathbb {N}$

è detta rappresentabile nella teoria aritmetica T se è epsrimibile in T da una formula $\varphi (x_{1},x_{2},...,x_{k},y)$ con k+1 variabili libere tale che

Cornici

$1,2,\ldots \,\!$	$0,1,-1,\ldots \,\!$	${\frac {1}{2}},0.7,\ldots \,\!$	$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots \,\!$	$i,e^{i\pi /3},\ldots \,\!$
Numeri naturali	Numeri interi	Numeri razionali	Numeri reali	Numeri complessi

1. 0 è un numero naturale
2. il successore di un numero naturale è un numero naturale

(P1) $S(x)\neq x_{0}$ per ogni $x\in X$

(P2) $x\neq y$ implica $S(x)\neq S(y)$

Frame

Tabelle

Problem	Brief explanation	Status
1st	The continuum hypothesis (that is, there is no set whose size is strictly between that of the integers and that of the real numbers)	Proven to be impossible to prove or disprove within the Zermelo-Frankel set theory. There is no consensus on considering this as a solution of the problem.
2nd	Prove that the axioms of arithmetic are consistent (that is, that arithmetic is a formal system that does not prove a contradiction).	Partially resolved: Some hold it has been shown impossible to establish in a consistent, finitistic axiomatic system - However, Gentzen proved in 1936 that consistency of arithmetic followed from the well-foundedness of the ordinal $\epsilon _{0}$, a fact amenable to combinatorial intuition.
3rd	Can two tetrahedra be proved to have equal volume (under certain assumptions)?	Resolved. Result: no, proved using Dehn invariants
4th	Construct all metrics where lines are geodesics.	Too vague to be stated resolved or not.

Giappone	8 giugno 2005
Iran	8 giugno 2005
Corea del Sud	8 giugno 2005
Arabia Saudita	8 giugno 2005

alfa	beta
abc	aaaaaaaaaaa

Convergenza e comportamento asintotico

Lo studio del comportamento di una successione ricorsiva quando n tende all'infinito può essere un problema assolutamente non banale anche per successioni dalla formulazione molto semplice. Un esempio particolarmente significatuivo delle difficoltà che si possono incontrare lo si vede nello studio della mappa logistica.

Se la successione

a_n+1=f(a_n)

è definita da una funzione f continua e converge ad un limite allora questo limite deve necessariamente essere un punto fisso della funzione f.

Paradosso delle due buste

Il paradosso delle due buste è un paradosso che riguarda la nozione di probabilità e il suo rapporto con l'informazione disponibile.

Considera il seguente gioco:

a) ci sono due buste, la A e la B;

b) ti viene data questa informazione: una delle due buste contiene una quantità doppia di denaro rispetto all’altra, ma non ti viene specificato quale delle due è quella con più soldi;

c) ti viene chiesto di scegliere una busta e tu scegli la A;

d) ti viene offerta la possibilità di guardare il contenuto della busta e decidere se cambiarla;

e) apri la busta e trovi 100€;

che cosa ti conviene fare? Cambiarla o tenerla? Considera ora il seguente ragionamento:

1. Se abbiamo trovato 100€ allora l’altra busta contiene o 50€ o 200€ (sulla base del punto b)

2. A queste due possibilità dobbiamo attribuire la stessa probabilità poiché non abbiamo nessuna informazione che possa farci privilegiare l’una piuttosto che l’altra. E dunque tale probabilità è ½ per ciascuna delle 2 ipotesi.

3. Sulla base di quanto detto possiamo calcolare il guadagno atteso cambiando busta:

a. Se cambiamo con quella da 50€ allora perdiamo 100€ e guadagnamo 50€, dunque il guadagno netto è -50€

b. Se cambiamo con quella da 200€ allora perdiamo 100€ e guadagnamo 200€, quindi il guadagno netto è +100€

Abbiamo quindi che:

Guadagno atteso cambiando busta = ½ (-50€) + ½ (100€) = +25€

4. Poiché il guadagno atteso cambiando busta è positivo conviene cambiare.

5. Ma un momento: che differenza fa se nella busta anziché trovare 100€ troviamo una qualsiasi quantità x di denaro? Il discorso appena fatto si può ripetere pari pari: cambiando passiamo da x a x/2 oppure a 2x, quindi possiamo perdere x/2 o guadagnare x con probabilità ½ e quindi il guadagno atteso è dato da:

Guadagno atteso cambiando busta = ½ (-x/2) + ½ x = x/4

che è comunque positivo.

6. Sulla base di quanto detto concludiamo che qualunque somma x troviamo nella nostra busta ci conviene cambiare busta.

7. Ma allora è inutile guardare nella busta: non appena abbiamo scelto tanto vale cambiarla subito senza nemmeno guardarne il contenuto.

Il ragioanmento appena esposto conduce ad una conclusione palesemente paradossale. Tuttavia non sembra possibile individuare un passo errato del ragionamento.

si puo' scrivere qui? se la risposta e' "no" scusami :) Mi vengono in mente parecchi paradossi relativi all'interazione tra informazione disponibile e probabilita', ma questo non mi sembra per niente paradossale. Se le cose stanno cosi' la probabilita' di aver beccato la busta con piu' soldi non dipende dalla cifra che c'e' scritta. Nel mondo reale possiamo forse ragionare su quanti soldi il banco puo' essere disposto a regalare al concorrente di questo gioco in cambio dell'interesse suscitato (magari negli spettatori) da un concorrente che "Peccato!" perde sul piu' bello, per cui se si tratta di una cifra molto piu bassa di questo target converra' cambiare (anche perche' insomma una cifra piccola siamo piu' disposti a "puntarla") mentre se si tratta di una cifra di cui esiteremmo a scommetterne meta', meglio ringraziare e salutare. Questo tipo di informazione e di ragionamenti mi va a modificare la stima della probabilita' dei due eventi.... se invece di un fattore 2 immagini di mettere un fattore 100, diventa ancora piu' palese. Non so come puoi rispondermi, scrivimi qui se vuoi, mi segno il bookmark.