In teoria della misura, una trasformazione che preserva la misura è un particolare tipo di trasformazione misurabile o, più in particolare, di trasformazione non singolare.
Sia
uno spazio di misura e sia
una trasformazione misurabile. Si dice che la trasformazione
preserva la misura se
![{\displaystyle \mu (S^{-1}(A))=\mu (A),\;\;\;\forall A\in {\mathcal {A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962af20ae1f0889cdeb046bba409f786a3b7d7c6)
Banalmente, la trasformazione identica
su
preserva la misura. Il teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.
Sia
un
-toro. Presa
una matrice invertibile definita su
di taglia
, essa definirà naturalmente una mappa lineare da
tale che
. Essendo
una matrice a entrate intere, essa mappa
in sé. A ci permette di definire una mappa
tale che
(ben definita) detta endomorfismo torale lineare; nel caso in cui
essa è invertibile dunque un automorfismo.
Sia dunque
un diffeomorfismo di Anosov.
Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è
![{\displaystyle J=\det {\begin{vmatrix}1&1\\1&2\\\end{vmatrix}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9da421faae4a1e2e18edcf4b43f834a8660f3c1)
dunque la trasformazione preserva la misura.
Gli autovalori della trasformazione
sono
e
, con
.
Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione
e utilizzarla per calcolare esplicitamente l'operatore mediante la formula di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari:
Inoltre
, quindi
preserva la misura di Borel.
La mappa di Gauss
, con
,
, preserva la misura di Gauss
data da
![{\displaystyle \mu (A)={\frac {1}{\log {2}}}\int _{A}^{}{\frac {1}{1+x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9d30bda57134f4b57635b19606f3439a7ab9d2)
per ogni insieme di Borel
misurabile.
![{\displaystyle T^{-1}[0,s]=\left\{x|0\leq T(x)\leq s\ \right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{s+n}},{\frac {1}{n}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60f9777e8dff2d0a156df7c8871138a38006dea)
è un'unione disgiunta, quindi
![{\displaystyle \mu (T^{-1}[0,s])={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{s+n}}^{\frac {1}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bc95dc07da1d0f0333e90359abaf4d7e70097f)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {1}{s+n}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08cefcbc108ab24a70dced51c8b6668b6aee05c)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {s}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {s}{n+1}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1c2f438fee5ceef7da332bec373ef65d8072de)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {s}{n+1}}^{\frac {s}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca1b6f26ee7cad7b6aacd93b3b1eec6bc248be8)
![{\displaystyle =\mu ([0,s]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c5fbd54aa46c81e71a36c98f437f63b28bb334)
Siano
spazi di probabilità, con
. Sia
una trasformazione. Sia
una semi-algebra che genera
. Allora
è misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni
si ha
e
.
- Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
- Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
- Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.