Trasformata di Weierstrass

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In matematica, la trasformata di Weierstrass[1] è una trasformata integrale di una funzione , che deve il suo nome al matematico tedesco Karl Weierstrass. La trasformata è intuitivamente una versione "smussata" di , ottenuta mediando il valore di e pesando con una funzione gaussiana centrata in .

Il grafico di una funzione (in nero) e le sue trasformate di Weierstrass generalizzate per 5 valori del parametro . La trasformata di Weierstrass standard è data dal caso (in verde)

In modo più specifico, è la funzione definita da

che è la convoluzione di con la funzione gaussiana

Il fattore è scelto in modo che l'integrale della Gaussiana sia 1, cosicché le funzioni costanti non vengano cambiate dalla trasformata di Weierstrass.

Invece di , spesso viene indicata con . Da notare che, poiché l'integrale potrebbe non convergere, non è detto che sia definita per ogni numero reale .

La trasformata di Weierstrass è strettamente collegata all'equazione del calore (o, equivalentemente, all'equazione di diffusione con coefficiente di diffusione costante). Se la funzione descrive la temperatura iniziale in ogni punto di una sbarra infinitamente lunga con conduttività termica costante uguale a 1, allora la distribuzione di temperatura a sarà data dalla funzione . Utilizzando valori di differenti da 1, si può definire la trasformata di Weierstrass generalizzata di .

La trasformata di Weierstrass generalizzata fornisce uno strumento per approssimare arbitrariamente bene una data funzione integrabile con funzioni analitiche.

Nomi[modifica | modifica wikitesto]

Weierstrass utilizzò la trasformata nella sua originale dimostrazione del teorema di approssimazione di Weierstrass. È anche conosciuta come la trasformata di Gauss–Weierstrass, da Carl Friedrich Gauss, e come la trasformata di Hille, da Einar Hille che la studiò ampiamente. La generalizzazione delle trasformata è conosciuta in analisi dei segnali come filtro gaussiano e in elaborazione delle immagini (quando realizzata in ) come sfocatura gaussiana ("gaussian blur" in inglese).

Trasformata di alcune funzioni importanti[modifica | modifica wikitesto]

Come menzionato prima, ogni funzione costante è la sua stessa trasformata. La trasformata di Weierstrass di qualsiasi polinomio è un polinomio dello stesso grado e con lo stesso coefficiente direttore, lasciando quindi la crescita asintotica invariata. In particolare, se indica il polinomio di Hermite fisico di grado , allora la trasformata di Weirstrass di è semplicemente . Questo si può dimostrare sfruttando il fatto che la funzione generatrice dei polinomi di Hermite è strettamente collegata al nucleo gaussiano utilizzato nella definizione della trasformata di Weierstrass.

La trasformata di Weierstrass della funzione , dove è una costante arbitraria, è . La funzione è quindi un'autofunzione della trasformata di Weierstrass (questo, infatti, è vero più in generale per ogni trasformata convolutiva).

Sostituendo , dove è l'unità immaginaria, e applicando l'identità di Eulero, si vede che la trasformata di Weierstrass della funzione è e della funzione è .

La trasformata di Weierstrass della funzione è

    se e non definita se .

In particolare, scegliendo negativo, è evidente che la trasformata di Weierstrass di una funzione gaussiana è ancora una gaussiana ma più "larga".

Proprietà generali[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata di Weierstrass assegna a ogni funzione una nuova funzione in modo lineare. Inoltre è invariante sotto traslazione, cioè la trasformata della funzione è . Entrambe queste proprietà sono vere in generale per ogni trasformata integrale costruita attraverso la convoluzione.

Se la trasformata esiste per i numeri reali e , allora esiste per ogni valore compreso fra di essi e forma una funzione analitica. Inoltre, esiste per tutti i numeri complessi con e su tale striscia è una funzione olomorfa. Questa è la definizione formale di "liscezza" di citata prima.

Se è integrabile sull'intero asse reale (in altre parole, ), allora lo è anche la sua trasformata di Weierstrass . Se in aggiunta per ogni , allora ovunque e gli integrali di e sono uguali. Questo esprime il fatto che l'energia termica totale è conservata dall'equazione del calore o che la quantità totale di materiale diffondente è conservata dall'equazione di diffusione.

Si può dimostrare che per e , si ha e . Di conseguenza, la trasformata di Weierstrass costituisce un operatore limitato .

Se è sufficientemente liscia, allora la trasformata di Weierstrass della k-esima derivata di è uguale alla k-esima derivata della trasformata di Weierstrass di .

Esiste una formula che mette in relazione la trasformata di Weierstrass e la trasformata di Laplace bilatera . Se si definisce

allora

Filtro passa-basso[modifica | modifica wikitesto]

Si è visto sopra che la trasformata di Weierstrass di è e analogamente per . In termini dell'analisi dei segnali, questo suggerisce che se il segnale contiene la frequenza (cioè contiene un addendo che è combinazione di e ), allora il segnale trasformato contiene la stessa frequenza, ma con un'ampiezza ridotta di un fattore . Questo ha come conseguenza che le frequenza più alte sono ridotte molto di più di quelle basse, e la trasformata di Weierstrass agisce quindi come un filtro passa-basso. Questo stesso risultato si ottiene anche tramite la trasformata di Fourier. Infatti, la trasformata di Fourier analizza un segnale in termini delle sue frequenza, trasforma convoluzioni in prodotti e gaussiane in gaussiane. La trasformata di Weierstrass è la convoluzione con una funzione gaussiana e perciò è la "moltiplicazione" del segnale trasformato secondo Fourier con una gaussiana, seguita dall'applicazione della trasformata di Fourier inversa. Questa moltiplicazione con una gaussiana nello spazio delle frequenze attenua le alte frequenze, che è altro modo di descrivere la proprietà di "liscezza" della trasformata di Weierstrass.

La trasformata inversa[modifica | modifica wikitesto]

La seguente formula, strettamente collegata alla trasformata di Laplace della funzione gaussiana e interpretabile come una versione reale della trasformazione di Hubbard–Stratonovich, è relativamente semplice da dimostrare:

Ora si sostituisca con l'operatore di differenziazione formale e si utilizzi l'operatore di shift di Lagrange

,

quest'ultima conseguenza della serie di Taylor e della definizione della funzione esponenziale, per ottenere

e quindi ricavare la seguente espressione formale per la trasformata di Weierstrass ,

dove l'azione dell'operatore sulla destra su una funzione va interpretata come

La precedente derivazione formale sorvola i dettagli sulla convergenza, e la formula non è universalmente valida; ci sono molte funzioni che hanno una trasformata di Weierstrass ben definita, ma per cui non esiste.

Tuttavia, la regola è ancora utile e può, per esempio, essere usata per derivare le trasformate di Weierstrass dei polinomi, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche descritte prima.

L'inversa formale della trasformata di Weierstrass è data quindi da

Di nuovo, questa formula non è in genere valida ma può servire come guida. Si può mostrare che è valida per certe classi di funzioni se l'operatore a destra è definito propriamente.[2]

Si può, alternativamente, provare a invertire la trasformata di Weierstrass in una maniera leggermente diversa: data una funzione analitica

applicando si ottiene

utilizzando la proprietà dei polinomi di Hermite fisici .

Nuovamente, questa formula per è nella migliore delle ipotesi formale, poiché non si è controllato che la serie finale convergesse. Ma se, per esempio, , allora la conoscenza di tutte le derivate di in è sufficiente per ricavare i coefficienti , e ricostruire come serie di polinomi di Hermite.

Un ulteriore metodo per invertire la trasformata di Weierstrass sfrutta la sua relazione con la trasformata di Laplace descritta prima, e la ben nota formula d'inversione per quest'ultima trasformata. Il risultato viene enunciato sotto per le distribuzioni.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Si può utilizzare la convoluzione con il nucleo gaussiano (con ) per definire la trasformata di Weierstrass generalizzata .

Per piccoli valori di , è molto vicina a , ma liscia. Più è grande , più questo operatore media e varia la funzione . Fisicamente, corrisponde a seguire l'equazione del calore (o della diffusione) per unità temporali. Dal momento che questo è additivo, allora

che corrisponde a "diffondere per unità, e dopo per unità, è equivalente a diffondere per ". Si può estendere anche per definendo come l'operatore identità (cioè la convoluzione con la funzione delta di Dirac), in modo da formare così un semigruppo di operatori.

Il nucleo usato per la trasformata di Weierstrass generalizzata viene spesso chiamato nucleo di Gauss–Weierstrass, ed è la funzione di Green per l'equazione di diffusione su .

Si può calcolare da : infatti, data una funzione , si definisce una nuova funzione . Allora , come conseguenza dell'integrazione per sostituzione.

La trasformata di Weierstrass può essere definita anche per certe classi di distribuzioni o "funzioni generalizzate".[3] Per esempio, la trasformata della delta di Dirac è la funzione gaussiana .

In questo contesto, si possono dimostrare rigorose formule d'inversione, per esempio

dove è qualsiasi numero reale fissato per cui esiste, l'integrale si estende lungo la linea verticale nel piano complesso con parte reale , e il limite viene preso nel senso delle distribuzioni.

La trasformata di Weierstrass può essere anche definita per funzioni (o distribuzioni) a valori reali (o complessi) su . Si utilizza la stessa formula di convoluzione di prima ma si estende l'integrale su tutto e si interpreta l'espressione come il quadrato della lunghezza euclidea del vettore . Inoltre, il fattore di fronte all'integrale deve essere aggiustato in modo che la gaussiana abbia integrale 1.

In generale, la trasformata di Weierstrass può essere definita su qualunque varietà riemanniana: l'equazione del calore si definisce usando l'operatore di Laplace-Beltrami, e la trasformata di Weierstrass si ricava seguendo la soluzione dell'equazione per un'unità temporale, partendo dalla distribuzione iniziale di temperatura .

Trasformate collegate[modifica | modifica wikitesto]

Se si considera la convoluzione con il nucleo invece di quello gaussiano, si ottiene la trasformata di Poisson, che smussa e media una data funzione in maniera simile alla trasformata di Weierstrass.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ahmed I. Zayed, Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Chapter 18. CRC Press, 1996.
  2. ^ G. G. Bilodeau, "The Weierstrass Transform and Hermite Polynomials". Duke Mathematical Journal 29 (1962), p. 293-308
  3. ^ Yu A. Brychkov, A. P. Prudnikov. Integral Transforms of Generalized Functions, Chapter 5. CRC Press, 1989

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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